Stereometrie ist die Untersuchung der Eigenschaften dreidimensionaler geometrischer Formen. Eine der bekannten volumetrischen Figuren, die in Geometrieproblemen auftaucht, ist ein gerades Prisma. Lassen Sie uns in diesem Artikel überlegen, was es ist, und auch ein Prisma mit einer dreieckigen Basis im Detail beschreiben.
Prisma und seine Typen
Ein Prisma ist eine Figur, die als Ergebnis einer Parallelverschiebung eines Polygons im Raum entsteht. Als Ergebnis dieser geometrischen Operation wird eine Figur gebildet, die aus mehreren Parallelogrammen und zwei identischen Polygonen besteht, die parallel zueinander verlaufen. Parallelogramme sind die Seiten des Prismas und Vielecke sind seine Basen.
Jedes Prisma hat n+2 Seiten, 3n Kanten und 2n Eckpunkte, wobei n die Anzahl der Ecken oder Seiten der polygonalen Grundfläche ist. Das Bild zeigt ein fünfeckiges Prisma mit 7 Seiten, 10 Ecken und 15 Kanten.
Die betrachtete Figurenklasse wird durch mehrere Arten von Prismen dargestellt. Wir listen sie kurz auf:
- konkav und konvex;
- schräg und gerade;
- falsch und richtig.
Jede Figur gehört zu einer der drei aufgeführten Klassifikationsarten. Beim Lösen geometrischer Probleme ist es am einfachsten, Berechnungen für regelmäßige und gerade Prismen durchzuführen. Auf Letzteres wird in den folgenden Absätzen des Artikels näher eingegangen.
Was ist ein gerades Prisma?
Ein gerades Prisma ist ein konkaves oder konvexes, regelmäßiges oder unregelmäßiges Prisma, bei dem alle Seiten durch Vierecke mit 90°-Winkeln dargestellt werden. Wenn mindestens eines der Seitenvierecke kein Rechteck oder Quadrat ist, wird das Prisma als schief bezeichnet. Es kann auch eine andere Definition gegeben werden: Ein gerades Prisma ist eine solche Figur einer bestimmten Klasse, bei der jede Seitenkante gleich der Höhe ist. Unter der Höhe h des Prismas wird der Abstand seiner Grundflächen angenommen.
Beide Definitionen, dass es sich um ein direktes Prisma handelt, sind gleichwertig und autark. Daraus folgt, dass alle Diederwinkel zwischen jeder der Basen und jeder Seite 90° betragen.
Oben wurde gesagt, dass es bequem ist, beim Lösen von Problemen mit geraden Zahlen zu arbeiten. Dies liegt daran, dass die Höhe der Länge der Seitenrippe entspricht. Letztere Tatsache erleichtert die Berechnung des Volumens einer Figur und der Fläche ihrer Seitenfläche.
Volumen eines direkten Prismas
Volumen - ein jeder räumlichen Figur innewohnender Wert, der numerisch den Teil des Raums widerspiegelt, der zwischen den betrachteten Oberflächen eingeschlossen istObjekt. Das Volumen eines Prismas lässt sich mit folgender allgemeiner Formel berechnen:
V=Soh.
Das heißt, das Produkt aus der Höhe und der Fläche der Basis ergibt den gewünschten Wert V. Da die Basen eines geraden Prismas gleich sind, wird die Fläche So bestimmt du kannst jeden nehmen.
Der Vorteil der Verwendung der obigen Formel speziell für ein gerades Prisma im Vergleich zu seinen anderen Typen besteht darin, dass die Höhe der Figur sehr einfach zu finden ist, da sie mit der Länge der Seitenkante übereinstimmt.
Seitenbereich
Es ist bequem, nicht nur das Volumen für eine gerade Figur der betrachteten Klasse zu berechnen, sondern auch ihre Seitenfläche. Tatsächlich ist jede Seite davon entweder ein Rechteck oder ein Quadrat. Jeder Schüler weiß, wie man den Flächeninh alt dieser flachen Figuren berechnet, dazu ist es notwendig, benachbarte Seiten miteinander zu multiplizieren.
Nehmen Sie an, dass die Basis des Prismas ein beliebiges n-Eck ist, dessen Seiten gleich ai sind. Index i läuft von 1 bis n. Die Fläche eines Rechtecks berechnet sich wie folgt:
Si=aih.
Die Fläche der Mantelfläche Sb lässt sich leicht berechnen, wenn man alle Flächen Si Rechtecke zusammenzählt. In diesem Fall erh alten wir die endgültige Formel für Sbgerades Prisma:
Sb=h∑i=1(ai)=hPo.
Um also die Seitenfläche eines geraden Prismas zu bestimmen, müssen Sie dessen Höhe mit dem Umfang einer Basis multiplizieren.
Problem mit einem dreieckigen Prisma
Nehmen Sie an, dass ein gerades Prisma gegeben ist. Die Basis ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die Beine dieses Dreiecks sind 12 cm und 8 cm lang. Es ist notwendig, das Volumen der Figur und ihre Gesamtfläche zu berechnen, wenn die Höhe des Prismas 15 cm beträgt.
Berechnen wir zuerst das Volumen eines geraden Prismas. Das Dreieck (rechteckig) an seinen Basen hat einen Flächeninh alt:
So=a1a2/2=128/2=48cm2.
Wie Sie vielleicht erraten haben, sind a1 und a2 Beine in dieser Gleichung. Wenn Sie die Grundfläche und Höhe kennen (siehe Problembedingung), können Sie die Formel für V verwenden:
V=Soh=4815=720cm3.
Die Gesamtfläche der Figur wird von zwei Teilen gebildet: den Flächen der Basen und der Seitenfläche. Die Flächen der beiden Basen sind:
S2o=2So=482=96cm2.
Um die Seitenfläche zu berechnen, musst du den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks kennen. Berechnen Sie nach dem Satz des Pythagoras seine Hypotenuse a3, wir haben:
a3 =√(a12+ a2 2)=√(122+ 82)=14,42 cm
Dann ist der Umfang des Dreiecks der Basis des rechten Prismas:
P=a1+ a2+ a3=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.
Anwenden der Formel für Sb, die im vorherigen Absatz geschrieben wurde,bekomme:
Sb=hP=1534, 42=516, 3 cm.
Addiert man die Flächen von S2o und Sb erhält man die Gesamtoberfläche der untersuchten geometrischen Figur:
S=S2o+ Sb=96 + 516, 3=612, 3cm2.
Ein dreieckiges Prisma, das aus speziellen Glassorten hergestellt wird, wird in der Optik verwendet, um die Spektren von lichtemittierenden Objekten zu untersuchen. Solche Prismen sind aufgrund des Dispersionsphänomens in der Lage, Licht in Teilfrequenzen zu zerlegen.
