Die Rotation von Körpern ist eine der wichtigsten mechanischen Bewegungsarten in Technik und Natur. Im Gegensatz zu einer linearen Bewegung wird sie durch ihre eigenen kinematischen Eigenschaften beschrieben. Eine davon ist die Winkelbeschleunigung. Wir charakterisieren diesen Wert im Artikel.
Drehbewegung
Bevor wir über Winkelbeschleunigung sprechen, wollen wir die Art der Bewegung beschreiben, auf die sie sich bezieht. Die Rede ist von Rotation, also der Bewegung von Körpern auf Kreisbahnen. Damit eine Rotation stattfinden kann, müssen bestimmte Bedingungen erfüllt sein:
- Vorhandensein einer Achse oder eines Drehpunktes;
- das Vorhandensein einer Zentripetalkraft, die den Körper auf einer Kreisbahn h alten würde.
Beispiele für diese Art von Bewegung sind verschiedene Attraktionen, wie zum Beispiel ein Karussell. In der Technik manifestiert sich Rotation in der Bewegung von Rädern und Wellen. In der Natur ist das markanteste Beispiel für diese Art von Bewegung die Rotation der Planeten um ihre eigene Achse und um die Sonne. Die Rolle der Zentripetalkraft spielen in diesen Beispielen die Kräfte der interatomaren Wechselwirkung in Festkörpern und die GravitationInteraktion.
Kinematische Eigenschaften der Rotation
Diese Eigenschaften umfassen drei Größen: Winkelbeschleunigung, Winkelgeschwindigkeit und Drehwinkel. Wir bezeichnen sie mit den griechischen Symbolen α, ω bzw. θ.
Da sich der Körper im Kreis bewegt, ist es bequem, den Winkel θ zu berechnen, um den er sich in einer bestimmten Zeit dreht. Dieser Winkel wird in Radiant (selten in Grad) ausgedrückt. Da der Kreis 2 × Pi im Bogenmaß hat, können wir eine Gleichung schreiben, die θ mit der Bogenlänge L der Kurve in Beziehung setzt:
L=θ × r
Wobei r der Rotationsradius ist. Diese Formel erhält man leicht, wenn man sich den entsprechenden Ausdruck für den Umfang merkt.
Die Winkelgeschwindigkeit ω beschreibt wie ihr lineares Gegenstück die Rotationsgeschwindigkeit um die Achse, d.h. sie wird nach folgendem Ausdruck bestimmt:
ω¯=d θ / d t
Die Größe ω¯ ist ein Vektorwert. Sie ist entlang der Rotationsachse gerichtet. Seine Einheit ist Radiant pro Sekunde (rad/s).
Schließlich ist die Winkelbeschleunigung eine physikalische Eigenschaft, die die Änderungsrate des Wertes von ω¯ bestimmt, die mathematisch wie folgt geschrieben wird:
α¯=d ω¯/ d t
Vektor α¯ ist darauf gerichtet, den Geschwindigkeitsvektor ω¯ zu ändern. Ferner wird gesagt, dass die Winkelbeschleunigung auf den Vektor des Kraftmoments gerichtet ist. Dieser Wert wird in Radiant gemessen. Quadratsekunde (rad/s2).
Kraft- und Beschleunigungsmoment
Erinnern wir uns an das Newtonsche Gesetz, das Kraft und lineare Beschleunigung zu einer einzigen Gleichung verbindet, dann können wir dieses Gesetz auf den Fall der Drehung übertragen und folgenden Ausdruck schreiben:
M¯=I × α¯
Hier ist M¯ das Moment der Kraft, das Produkt aus der Kraft, die dazu neigt, das System zu drehen, multipliziert mit dem Hebel - der Abstand vom Kraftangriffspunkt zur Achse. Der Wert I ist analog zur Masse des Körpers und wird als Trägheitsmoment bezeichnet. Die geschriebene Formel heißt Momentengleichung. Daraus lässt sich die Winkelbeschleunigung wie folgt berechnen:
α¯=M¯/ I
Da I ein Skalar ist, ist α¯ immer auf das wirkende Moment der Kraft M¯ gerichtet. Die Richtung von M¯ wird durch die Rechte-Hand-Regel oder die Gimlet-Regel bestimmt. Die Vektoren M¯ und α¯ stehen senkrecht auf der Rotationsebene. Je größer das Trägheitsmoment des Körpers ist, desto geringer ist der Wert der Winkelbeschleunigung, die das feste Moment M¯ auf das System übertragen kann.
Kinematische Gleichungen
Um die wichtige Rolle zu verstehen, die die Winkelbeschleunigung bei der Beschreibung der Rotationsbewegung spielt, schreiben wir die Formeln auf, die die oben untersuchten kinematischen Größen verbinden.
Bei gleichmäßig beschleunigter Rotation gelten folgende mathematische Zusammenhänge:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
Die erste Formel zeigt, dass der Winkeldie Geschwindigkeit wird mit der Zeit nach einem linearen Gesetz zunehmen. Mit dem zweiten Ausdruck können Sie den Winkel berechnen, um den sich der Körper in einer bekannten Zeit t drehen wird. Der Graph der Funktion θ(t) ist eine Parabel. In beiden Fällen ist die Winkelbeschleunigung eine Konstante.
Wenn wir die am Anfang des Artikels angegebene Beziehungsformel zwischen L und θ verwenden, können wir einen Ausdruck für α in Bezug auf die lineare Beschleunigung a erh alten:
α=a / r
Ist α konstant, so steigt mit zunehmendem Abstand von der Rotationsachse r die Linearbeschleunigung a proportional an. Aus diesem Grund werden Winkeleigenschaften für die Rotation verwendet, im Gegensatz zu linearen ändern sie sich nicht mit zunehmendem oder abnehmendem r.
Beispielaufgabe
Die Metallwelle, die sich mit einer Frequenz von 2.000 Umdrehungen pro Sekunde drehte, begann langsamer zu werden und stoppte nach 1 Minute vollständig. Es muss berechnet werden, mit welcher Winkelbeschleunigung der Verzögerungsvorgang der Welle stattgefunden hat. Sie sollten auch die Anzahl der Umdrehungen berechnen, die die Welle vor dem Stoppen gemacht hat.
Der Vorgang der Rotationsverzögerung wird durch folgenden Ausdruck beschrieben:
ω=ω0- α × t
Die Anfangswinkelgeschwindigkeit ω0 wird aus der Drehfrequenz f wie folgt bestimmt:
ω0=2 × pi × f
Da wir die Verzögerungszeit kennen, erh alten wir den Beschleunigungswert α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Diese Nummer sollte mit einem Minuszeichen genommen werden,weil wir davon sprechen, das System zu verlangsamen, nicht es zu beschleunigen.
Um die Anzahl der Umdrehungen zu bestimmen, die die Welle beim Bremsen macht, wenden Sie den Ausdruck an:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376.806 rad.
Der erh altene Wert des Rotationswinkels θ im Bogenmaß wird einfach durch einfache Division durch 2 × pi in die Anzahl der Umdrehungen umgerechnet, die die Welle bis zum vollständigen Stillstand macht:
n=θ / (2 × pi)=60.001 Umdrehungen.
Damit haben wir alle Antworten auf die Fragen des Problems: α=-209, 33 rad/s2, n=60.001 Umdrehungen.
