Prisma ist ein Polyeder oder Polyeder, das im Schulkurs der Festkörpergeometrie studiert wird. Eine der wichtigen Eigenschaften dieses Polyeders ist sein Volumen. Lassen Sie uns im Artikel überlegen, wie dieser Wert berechnet werden kann, und geben Sie auch die Formeln für das Volumen von Prismen an - regelmäßig viereckig und sechseckig.
Prisma in der Stereometrie
Diese Figur wird als Polyeder verstanden, das aus zwei identischen, in parallelen Ebenen liegenden Polygonen und mehreren Parallelogrammen besteht. Bei bestimmten Prismentypen können Parallelogramme rechteckige Vierecke oder Quadrate darstellen. Unten sehen Sie ein Beispiel für ein sogenanntes fünfeckiges Prisma.
Um eine Figur wie in der obigen Abbildung zu bauen, müssen Sie ein Fünfeck nehmen und es parallel in eine bestimmte Entfernung im Raum verschieben. Wenn wir die Seiten zweier Fünfecke mit Parallelogrammen verbinden, erh alten wir das gewünschte Prisma.
Jedes Prisma besteht aus Flächen, Ecken und Kanten. Die Ecken des Prismasim Gegensatz zur Pyramide gleich sind, bezieht sich jede von ihnen auf eine der beiden Basen. Es gibt zwei Arten von Flächen und Kanten: diejenigen, die zu den Basen gehören, und diejenigen, die zu den Seiten gehören.
Es gibt verschiedene Arten von Prismen (korrekt, schräg, konvex, gerade, konkav). Betrachten wir später in diesem Artikel, nach welcher Formel das Volumen eines Prismas unter Berücksichtigung der Form der Figur berechnet wird.
Allgemeiner Ausdruck zur Bestimmung des Volumens eines Prismas
Unabhängig davon, zu welchem Typ die zu untersuchende Figur gehört, ob sie gerade oder schräg, regelmäßig oder unregelmäßig ist, gibt es einen universellen Ausdruck, mit dem Sie ihr Volumen bestimmen können. Das Volumen einer räumlichen Figur ist der Raumbereich, der zwischen ihren Flächen eingeschlossen ist. Die allgemeine Formel für das Volumen eines Prismas lautet:
V=So × h.
Hier steht So für die Fläche der Basis. Es sollte daran erinnert werden, dass wir über eine Basis sprechen und nicht über zwei. Der h-Wert ist die Höhe. Unter der Höhe der untersuchten Figur versteht man den Abstand zwischen ihren identischen Basen. Stimmt dieser Abstand mit den Längen der Seitenrippen überein, so spricht man von einem geraden Prisma. In einer geraden Figur sind alle Seiten Rechtecke.
Wenn also ein Prisma schräg ist und ein unregelmäßiges Grundpolygon hat, dann wird die Berechnung seines Volumens komplizierter. Wenn die Figur gerade ist, reduziert sich die Berechnung des Volumens nur auf die Bestimmung der Fläche der Basis So.
Bestimmung der Lautstärke einer normalen Figur
Regular ist jedes Prisma, das gerade ist und eine polygonale Basis mit gleichen Seiten und Winkeln hat. Solche regelmäßigen Polygone sind beispielsweise ein Quadrat und ein gleichseitiges Dreieck. Gleichzeitig ist eine Raute keine regelmäßige Figur, da nicht alle Winkel gleich sind.
Die Formel für das Volumen eines regulären Prismas folgt eindeutig aus dem allgemeinen Ausdruck für V, der im vorigen Absatz des Artikels geschrieben wurde. Bevor Sie mit dem Schreiben der entsprechenden Formel fortfahren, müssen Sie die Fläche der richtigen Basis bestimmen. Ohne auf mathematische Details einzugehen, stellen wir die Formel zur Bestimmung der angegebenen Fläche vor. Es ist universell für jedes reguläre n-Eck und hat die folgende Form:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Wie Sie dem Ausdruck entnehmen können, ist die Fläche Sn eine Funktion zweier Parameter. Eine ganze Zahl n kann Werte von 3 bis unendlich annehmen. Der Wert a ist die Seitenlänge des n-Ecks.
Um das Volumen einer Figur zu berechnen, muss lediglich die Fläche S mit der Höhe h bzw. mit der Seitenkantenlänge b multipliziert werden (h=b). Als Ergebnis kommen wir zu folgender Arbeitsformel:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Beachten Sie, dass Sie zur Bestimmung des Volumens eines Prismas eines beliebigen Typs mehrere Größen kennen müssen (Seitenlängen der Basis, Höhe, Flächenwinkel der Figur), aber um den Wert V von zu berechnen Bei einem regulären Prisma brauchen wir nur zwei lineare Parameter zu kennen, zum Beispiel a und h.
Das Volumen eines viereckigen regulären Prismas
Ein viereckiges Prisma nennt man Parallelepiped. Wenn alle seine Flächen gleich und quadratisch sind, dann ist eine solche Figur ein Würfel. Jeder Schüler weiß, dass das Volumen eines rechteckigen Quaders oder Würfels durch Multiplikation seiner drei verschiedenen Seiten (Länge, Höhe und Breite) bestimmt wird. Diese Tatsache folgt aus dem geschriebenen allgemeinen Volumenausdruck für eine regelmäßige Zahl:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Hier ist der Kotangens von 45° gleich 1. Beachten Sie, dass die Gleichheit der Höhe h und der Seitenlänge der Grundfläche a automatisch auf die Formel für das Volumen eines Würfels führt.
Volumen eines sechseckigen regulären Prismas
Wende nun die obige Theorie an, um das Volumen einer Figur mit sechseckiger Grundfläche zu bestimmen. Dazu müssen Sie nur den Wert n=6 in die Formel einsetzen:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Der geschriebene Ausdruck kann selbstständig ohne Verwendung der Universalformel für S erh alten werden. Dazu müssen Sie das regelmäßige Sechseck in sechs gleichseitige Dreiecke teilen. Die Seite von jedem von ihnen ist gleich a. Die Fläche eines Dreiecks entspricht:
S3=√3/4 × a2.
Multipliziert man diesen Wert mit der Anzahl der Dreiecke (6) und der Höhe, erhält man obige Formel für das Volumen.
