Beschreibt man in der klassischen Mechanik die lineare Bewegung von Körpern mit den Newtonschen Gesetzen, so werden die Eigenschaften der Bewegung mechanischer Systeme auf Kreisbahnen mit einem speziellen Ausdruck berechnet, der als Momentengleichung bezeichnet wird. Von welchen Momenten sprechen wir und was bedeutet diese Gleichung? Diese und weitere Fragen werden im Artikel aufgedeckt.
Kraftmoment
Jeder kennt die Newtonsche Kraft, die auf den Körper einwirkt und ihm eine Beschleunigung verleiht. Wenn eine solche Kraft auf ein Objekt ausgeübt wird, das auf einer bestimmten Rotationsachse befestigt ist, wird diese Eigenschaft normalerweise als Kraftmoment bezeichnet. Die Momentenkraftgleichung kann wie folgt geschrieben werden:
M¯=L¯F¯
Das Bild, das diesen Ausdruck erklärt, ist unten gezeigt.
Hier sieht man, dass die Kraft F¯ unter einem Winkel Φ auf den Vektor L¯ gerichtet ist. Der Vektor L¯ selbst sei von der Rotationsachse (durch den Pfeil angedeutet) zum Angriffspunkt gerichtetF¯.
Die obige Formel ist ein Produkt zweier Vektoren, also ist M¯ auch gerichtet. Wohin wird das Moment der Kraft M¯ gedreht? Dies kann durch die Rechte-Hand-Regel bestimmt werden (vier Finger werden entlang der Trajektorie vom Ende des Vektors L¯ zum Ende von F¯ geführt, und der linke Daumen zeigt die Richtung von M¯ an).
In der obigen Abbildung hat der Ausdruck für das Kraftmoment in Skalarform die Form:
M=LFsin(Φ)
Wenn Sie sich die Abbildung genau ansehen, sehen Sie, dass Lsin(Φ)=d, dann haben wir die Formel:
M=dF
Der Wert von d ist ein wichtiges Merkmal bei der Berechnung des Kraftmoments, da er die Wirksamkeit des angewandten F auf das System widerspiegelt. Dieser Wert wird Krafthebel genannt.
Die physikalische Bedeutung von M liegt in der Fähigkeit der Kraft, das System zu drehen. Jeder kann diese Fähigkeit spüren, wenn er die Tür am Griff öffnet, sie in die Nähe der Scharniere drückt oder versucht, die Mutter mit einem kurzen und einem langen Schlüssel zu lösen.
Gleichgewicht des Systems
Das Konzept des Kraftmoments ist sehr nützlich, wenn man das Gleichgewicht eines Systems betrachtet, auf das mehrere Kräfte einwirken und das eine Achse oder einen Rotationspunkt hat. Wenden Sie in solchen Fällen die Formel an:
∑iMi¯=0
Das heißt, das System befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Summe aller darauf wirkenden Kräftemomente Null ist. Beachten Sie, dass in dieser Formel ein Vektorzeichen über dem Moment steht, dh beim Lösen sollte man nicht vergessen, das Vorzeichen davon zu berücksichtigenMengen. Die allgemein anerkannte Regel ist, dass die wirkende Kraft, die das System gegen den Uhrzeigersinn dreht, ein positives Mi¯.
erzeugt.
Ein markantes Beispiel für Probleme dieser Art sind Probleme mit dem Gleichgewicht der Hebel von Archimedes.
Moment der Dynamik
Dies ist ein weiteres wichtiges Merkmal der Kreisbewegung. In der Physik wird er als Produkt aus Impuls und Hebel bezeichnet. Die Impulsgleichung sieht so aus:
T¯=r¯p¯
Hier ist p¯ der Impulsvektor, r¯ der Vektor, der den rotierenden materiellen Punkt mit der Achse verbindet.
Die folgende Abbildung veranschaulicht diesen Ausdruck.
Hier ist ω die Winkelgeschwindigkeit, die später in der Momentengleichung auftaucht. Beachten Sie, dass die Richtung des Vektors T¯ durch die gleiche Regel wie M¯ gefunden wird. In der obigen Abbildung fällt T¯ in Richtung mit dem Winkelgeschwindigkeitsvektor ω¯ zusammen.
Die physikalische Bedeutung von T¯ ist die gleiche wie die Eigenschaften von p¯ bei linearer Bewegung, d.h. der Drehimpuls beschreibt den Betrag der Rotationsbewegung (gespeicherte kinetische Energie).
Trägheitsmoment
Die dritte wichtige Eigenschaft, ohne die es unmöglich ist, die Bewegungsgleichung eines rotierenden Körpers zu formulieren, ist das Trägheitsmoment. Er erscheint in der Physik als Ergebnis mathematischer Umformungen der Formel für den Drehimpuls eines materiellen Punktes. Lassen Sie uns Ihnen zeigen, wie es gemacht wird.
Stellen wir uns den Wert vorT¯ wie folgt:
T¯=r¯mv¯, wobei p¯=mv¯
Unter Verwendung der Beziehung zwischen Winkel- und Lineargeschwindigkeit können wir diesen Ausdruck wie folgt umschreiben:
T¯=r¯mr¯ω¯, wobei v¯=r¯ω¯
Schreiben Sie den letzten Ausdruck wie folgt:
T¯=r2mω¯
Der Wert r2m ist das Trägheitsmoment I für einen Massenpunkt m, der eine Kreisbewegung um eine Achse im Abstand r von ihm ausführt. Dieser Spezialfall erlaubt uns, die allgemeine Gleichung des Trägheitsmoments für einen Körper beliebiger Form einzuführen:
I=∫m (r2dm)
I ist eine additive Größe, deren Bedeutung in der Trägheit des rotierenden Systems liegt. Je größer I, desto schwieriger ist es, den Körper zu drehen, und es erfordert erhebliche Anstrengungen, ihn zu stoppen.
Momentengleichung
Wir haben drei Größen betrachtet, deren Name mit dem Wort "Moment" beginnt. Dies geschah absichtlich, da sie alle in einem Ausdruck verbunden sind, der als 3-Momenten-Gleichung bezeichnet wird. Bringen wir es raus.
Betrachte den Ausdruck für den Drehimpuls T¯:
T¯=Iω¯
Finde heraus, wie sich der Wert von T¯ mit der Zeit ändert, wir haben:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Wenn die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit gleich der linearen Geschwindigkeit geteilt durch r ist und wir den Wert von I erweitern, erh alten wir den Ausdruck:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, wobei a¯=dv¯/dt die lineare Beschleunigung ist.
Beachte, dass das Produkt aus Masse und Beschleunigung nichts anderes ist als die wirkende äußere Kraft F¯. Als Ergebnis erh alten wir:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Wir kamen zu einem interessanten Ergebnis: Die Änderung des Drehimpulses ist gleich dem Moment der einwirkenden äußeren Kraft. Dieser Ausdruck wird normalerweise in einer etwas anderen Form geschrieben:
M¯=Iα¯, wobei α¯=dω¯/dt - Winkelbeschleunigung.
Diese Gleichheit wird Momentengleichung genannt. Es ermöglicht Ihnen, alle Eigenschaften eines rotierenden Körpers zu berechnen, wenn Sie die Parameter des Systems und die Größe der äußeren Einwirkung darauf kennen.
Naturschutzrecht T¯
Die im vorigen Absatz erh altene Schlussfolgerung zeigt, dass sich der Drehimpuls nicht ändert, wenn das äußere Kraftmoment gleich Null ist. In diesem Fall schreiben wir den Ausdruck:
T¯=konst. oder I1ω1¯=I2ω2 ¯
Diese Formel wird Erh altungssatz von T¯ genannt. Das heißt, Änderungen innerhalb des Systems ändern den Gesamtdrehimpuls nicht.
Diese Tatsache nutzen Eiskunstläufer und Ballerinas bei ihren Auftritten. Es wird auch verwendet, wenn es notwendig ist, einen künstlichen Satelliten, der sich im Weltraum bewegt, um seine Achse zu drehen.
