Die Welt ist so angeordnet, dass die Lösung einer großen Anzahl von Problemen darauf hinausläuft, die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Die Wurzeln von Gleichungen sind wichtig, um verschiedene Muster zu beschreiben. Dies war sogar den Landvermessern des alten Babylon bekannt. Auch Astronomen und Ingenieure waren gezwungen, solche Probleme zu lösen. Bereits im 6. Jahrhundert n. Chr. entwickelte der indische Wissenschaftler Aryabhata die Grundlagen, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Die Formeln wurden im 19. Jahrhundert vervollständigt.
Allgemeine Konzepte
Wir laden Sie ein, sich mit den Grundgesetzmäßigkeiten quadratischer Gleichungen vertraut zu machen. Allgemein lässt sich Gleichheit wie folgt schreiben:
ax2 + bx + c=0, Die Anzahl der Wurzeln einer quadratischen Gleichung kann eins oder zwei sein. Eine schnelle Analyse kann mit dem Konzept der Diskriminante durchgeführt werden:
D=b2 - 4ac
Abhängig vom errechneten Wert erh alten wir:
- Bei D > 0 gibt es zwei verschiedene Wurzeln. Die allgemeine Formel zur Bestimmung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung sieht wie folgt aus: (-b± √D) / (2a).
- D=0, in diesem Fall ist die Wurzel eins und entspricht dem Wert x=-b / (2a)
- D < 0, für einen negativen Wert der Diskriminante gibt es keine Lösung der Gleichung.
Hinweis: Wenn die Diskriminante negativ ist, hat die Gleichung nur im Bereich der reellen Zahlen keine Wurzeln. Erweitert man die Algebra auf das Konzept der komplexen Wurzeln, so hat die Gleichung eine Lösung.
Geben wir eine Kette von Aktionen an, die die Formel zum Finden von Wurzeln bestätigt.
Aus der allgemeinen Form der Gleichung folgt:
ax2 + bx=-c
Wir multiplizieren den rechten und linken Teil mit 4a und addieren b2, wir erh alten
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Transformiere die linke Seite in das Quadrat des Polynoms (2ax + b)2. Wir ziehen die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), übertragen den Koeffizienten b auf die rechte Seite, wir erh alten:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Ab hier folgt:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Was gezeigt werden musste.
Sonderfall
In einigen Fällen kann die Lösung des Problems vereinfacht werden. Für einen geraden Koeffizienten b erh alten wir also eine einfachere Formel.
bezeichne k=1/2b, dann nimmt die Formel der allgemeinen Form der Wurzeln der quadratischen Gleichung die Form an:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Wenn D=0, erh alten wir x=-k / a
Ein weiterer Spezialfall ist die Lösung der Gleichung mit a=1.
Für die Form x2 + bx + c=0 sind die Wurzeln x=-k ± √(k2 - c) mit Diskriminante größer 0. Für den Fall, dass D=0 ist, wird die Wurzel durch eine einfache Formel bestimmt: x=-k.
Diagramme verwenden
Jeder Mensch ist, ohne es zu wissen, ständig mit physikalischen, chemischen, biologischen und sogar sozialen Phänomenen konfrontiert, die durch eine quadratische Funktion gut beschrieben werden.
Hinweis: Die aus einer quadratischen Funktion aufgebaute Kurve wird als Parabel bezeichnet.
Hier sind einige Beispiele.
- Bei der Berechnung der Flugbahn eines Projektils wird die Eigenschaft der Bewegung entlang einer Parabel eines Körpers verwendet, der in einem Winkel zum Horizont abgefeuert wird.
- Die Eigenschaft einer Parabel, die Last gleichmäßig zu verteilen, ist in der Architektur weit verbreitet.
Um die Bedeutung der Parabelfunktion zu verstehen, wollen wir herausfinden, wie man den Graphen verwendet, um seine Eigenschaften zu untersuchen, indem man die Konzepte "Diskriminante" und "Wurzeln einer quadratischen Gleichung" verwendet.
Je nach Wert der Koeffizienten a und b gibt es nur sechs Möglichkeiten für die Position der Kurve:
- Die Diskriminante ist positiv, a und b haben unterschiedliche Vorzeichen. Die Äste der Parabel blicken nach oben, die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen.
- Diskriminante und Koeffizient b sind gleich Null, Koeffizient a ist größer als Null. Der Graph liegt im positiven Bereich, die Gleichung hat 1 Wurzel.
- Die Diskriminante und alle Koeffizienten sind positiv. Die quadratische Gleichung hat keine Lösung.
- Diskriminante und Koeffizient a sind negativ, b ist größer Null. Die Äste des Graphen sind nach unten gerichtet, die Gleichung hat zwei Wurzeln.
- Diskriminanz undKoeffizient b gleich Null ist, Koeffizient a negativ ist. Die Parabel schaut nach unten, die Gleichung hat eine Wurzel.
- Die Werte der Diskriminante und aller Koeffizienten sind negativ. Es gibt keine Lösungen, die Funktionswerte liegen komplett im negativen Bereich.
Hinweis: Die Option a=0 wird nicht berücksichtigt, da in diesem Fall die Parabel in eine Gerade entartet.
Alles Obige wird durch die folgende Abbildung gut veranschaulicht.
Beispiele zur Problemlösung
Bedingung: Stelle mit Hilfe der allgemeinen Eigenschaften eine quadratische Gleichung auf, deren Wurzeln einander gleich sind.
Lösung:
je nach Zustand des Problems x1 =x2, oder -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Vereinfachung der Schreibweise:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, öffne die Klammern und gib ähnliche Terme an. Die Gleichung wird zu 2√(b2 - 4ac)=0. Diese Aussage ist wahr, wenn b2 - 4ac=0, also b 2=4ac, dann wird der Wert b=2√(ac) in die Gleichung eingesetzt
ax2 + 2√(ac)x + c=0, in der reduzierten Form erh alten wir x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Antwort:
für a ungleich 0 und beliebiges c gibt es nur eine Lösung, wenn b=2√(c / a).
Quadrische Gleichungen sind bei aller Einfachheit bei technischen Berechnungen von großer Bedeutung. Nahezu jeder physikalische Vorgang kann mit einiger Näherung beschrieben werdenPotenzfunktionen der Ordnung n. Die quadratische Gleichung ist die erste derartige Annäherung.
