Alle Körper, die uns umgeben, sind in ständiger Bewegung. Die Bewegung von Körpern im Weltraum wird auf allen Skalenebenen beobachtet, beginnend mit der Bewegung von Elementarteilchen in den Atomen der Materie und endend mit der beschleunigten Bewegung von Galaxien im Universum. In jedem Fall erfolgt der Bewegungsvorgang mit Beschleunigung. In diesem Artikel betrachten wir das Konzept der Tangentialbeschleunigung im Detail und geben eine Formel an, mit der es berechnet werden kann.
Kinematische Größen
Bevor wir über Tangentialbeschleunigung sprechen, wollen wir uns überlegen, welche Größen zur Charakterisierung der willkürlichen mechanischen Bewegung von Körpern im Raum üblich sind.
Das ist zunächst einmal der Weg L. Er zeigt die Strecke in Metern, Zentimetern, Kilometern usw. an, die der Körper in einer bestimmten Zeit zurückgelegt hat.
Die zweite wichtige Eigenschaft in der Kinematik ist die Geschwindigkeit des Körpers. Anders als der Weg ist sie eine Vektorgröße und entlang der Trajektorie gerichtetKörperbewegungen. Die Geschwindigkeit bestimmt die zeitliche Änderungsrate räumlicher Koordinaten. Die Formel zur Berechnung lautet:
v¯=dL/dt
Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung des Weges.
Schließlich ist die dritte wichtige Eigenschaft der Bewegung von Körpern die Beschleunigung. Beschleunigung ist nach physikalischer Definition eine Größe, die die Geschwindigkeitsänderung mit der Zeit bestimmt. Die Formel dafür kann geschrieben werden als:
a¯=dv¯/dt
Die Beschleunigung ist ebenso wie die Geschwindigkeit eine vektorielle Größe, aber anders als diese in Richtung der Geschwindigkeitsänderung gerichtet. Die Richtung der Beschleunigung fällt auch mit dem Vektor der auf den Körper wirkenden resultierenden Kraft zusammen.
Trajektorie und Beschleunigung
Viele Probleme der Physik werden im Rahmen der geradlinigen Bewegung betrachtet. In diesem Fall sprechen sie in der Regel nicht von der Tangentialbeschleunigung des Punktes, sondern arbeiten mit linearer Beschleunigung. Wenn die Bewegung des Körpers jedoch nicht linear ist, dann kann seine volle Beschleunigung in zwei Komponenten zerlegt werden:
- Tangente;
- normal.
Im Fall einer linearen Bewegung ist die Normalkomponente Null, daher sprechen wir nicht von der Vektorentwicklung der Beschleunigung.
Daher bestimmt die Bewegungsbahn weitgehend die Natur und die Komponenten der vollen Beschleunigung. Unter Bewegungsbahn versteht man eine gedachte Linie im Raum, entlang der sich der Körper bewegt. Irgendeineine krummlinige Trajektorie führt zum Auftreten der oben erwähnten Beschleunigungskomponenten ungleich Null.
Bestimmung der Tangentialbeschleunigung
Tangential- oder auch Tangentialbeschleunigung ist eine Komponente der Vollbeschleunigung, die tangential zur Bewegungsbahn gerichtet ist. Da auch die Geschwindigkeit entlang der Trajektorie gerichtet ist, fällt der tangentiale Beschleunigungsvektor mit dem Geschwindigkeitsvektor zusammen.
Das Konzept der Beschleunigung als Maß für die Geschwindigkeitsänderung wurde oben angegeben. Da die Geschwindigkeit ein Vektor ist, kann sie entweder modulo oder richtungsabhängig geändert werden. Die Tangentialbeschleunigung bestimmt nur die Änderung des Geschwindigkeitsmoduls.
Beachte, dass bei geradliniger Bewegung der Geschwindigkeitsvektor seine Richtung nicht ändert, daher sind gemäß obiger Definition Tangentialbeschleunigung und Linearbeschleunigung gleich groß.
Gleichung der Tangentialbeschleunigung ermitteln
Gehen Sie davon aus, dass sich der Körper auf einer gekrümmten Bahn bewegt. Dann kann seine Geschwindigkeit v¯ am gewählten Punkt wie folgt dargestellt werden:
v¯=vut¯
Dabei ist v der Betrag des Vektors v¯, ut¯ der tangential zur Trajektorie gerichtete Einheitsgeschwindigkeitsvektor.
Unter Verwendung der mathematischen Definition der Beschleunigung erh alten wir:
a¯=dv¯/dt=d(vut¯)/dt=dv/dtut ¯ + vd(ut¯)/dt
Beim Auffinden der Ableitung wurde hier die Eigenschaft des Produkts zweier Funktionen verwendet. Wir sehen, dass die Gesamtbeschleunigung a¯ am betrachteten Punkt der Summe zweier Terme entspricht. Sie sind die Tangente bzw. Normalbeschleunigung des Punktes.
Lassen Sie uns ein paar Worte über die normale Beschleunigung sagen. Es ist für die Änderung des Geschwindigkeitsvektors verantwortlich, dh für die Änderung der Bewegungsrichtung des Körpers entlang der Kurve. Wenn wir den Wert des zweiten Terms explizit berechnen, erh alten wir die Formel für die Normalbeschleunigung:
a=vd(ut¯)/dt=v2/ r
Die normale Beschleunigung wird entlang der Normalen gerichtet, die zum gegebenen Punkt der Kurve wiederhergestellt wurde. Im Falle einer kreisförmigen Bewegung ist die normale Beschleunigung zentripetal.
Tangentialbeschleunigungsgleichung at¯ ist:
at¯=dv/dtut¯
Dieser Ausdruck besagt, dass die Tangentialbeschleunigung nicht einer Richtungsänderung entspricht, sondern einer zeitlichen Änderung des Geschwindigkeitsmoduls v¯. Da die Tangentialbeschleunigung tangential zum betrachteten Punkt der Bahn gerichtet ist, steht sie immer senkrecht auf der Normalkomponente.
Tangentialbeschleunigung und Gesamtbeschleunigungsmodul
Alle obigen Informationen wurden präsentiert, mit denen Sie die Gesamtbeschleunigung durch die Tangente und die Normale berechnen können. Da beide Komponenten senkrecht zueinander stehen, bilden ihre Vektoren die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks,deren Hypotenuse der Gesamtbeschleunigungsvektor ist. Diese Tatsache erlaubt uns, die Formel für den Gesamtbeschleunigungsmodul in folgender Form zu schreiben:
a=√(a 2 + at2)
Der Winkel θ zwischen voller Beschleunigung und tangentialer Beschleunigung kann wie folgt definiert werden:
θ=arccos(at/a)
Je größer die Tangentialbeschleunigung ist, desto näher liegen die Richtungen der Tangential- und Vollbeschleunigung.
Zusammenhang zwischen Tangential- und Winkelbeschleunigung
Eine typische krummlinige Bahn, auf der sich Körper in Technik und Natur bewegen, ist ein Kreis. Tatsächlich erfolgt die Bewegung von Zahnrädern, Schaufeln und Planeten um ihre eigene Achse oder um ihre Leuchten genau auf einem Kreis. Die dieser Trajektorie entsprechende Bewegung wird Rotation genannt.
Die Rotationskinematik ist durch die gleichen Werte gekennzeichnet wie die Bewegungskinematik entlang einer Geraden, jedoch hat sie einen eckigen Charakter. Zur Beschreibung der Rotation werden also der zentrale Rotationswinkel θ, die Winkelgeschwindigkeit ω und die Beschleunigung α verwendet. Für diese Größen gelten folgende Formeln:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt
Angenommen, der Körper hat in der Zeit t eine Umdrehung um die Rotationsachse gemacht, dann können wir für die Winkelgeschwindigkeit schreiben:
ω=2pi/t
Lineargeschwindigkeit ist in diesem Fall gleich:
v=2pir/t
Wobei r der Radius der Flugbahn ist. Die letzten beiden Ausdrücke erlauben uns zu schreibendie Formel für die Verbindung zweier Geschwindigkeiten:
v=ωr
Nun berechnen wir die zeitliche Ableitung der linken und rechten Seite der Gleichung, wir erh alten:
dv/dt=rdω/dt
Die rechte Seite der Gleichheit ist das Produkt aus Winkelbeschleunigung und Kreisradius. Die linke Seite der Gleichung ist die Änderung des Geschwindigkeitsmoduls, also der Tangentialbeschleunigung.
Tangentialbeschleunigung und ein ähnlicher Winkelwert sind also gleich:
at=αr
Wenn wir annehmen, dass sich die Scheibe dreht, dann wird die Tangentialbeschleunigung eines Punktes bei einem konstanten Wert von α mit zunehmendem Abstand von diesem Punkt zur Rotationsachse r linear zunehmen.
Als nächstes lösen wir zwei Probleme mit den obigen Formeln.
Bestimmung der Tangentialbeschleunigung aus bekannter Geschwindigkeitsfunktion
Es ist bekannt, dass die Geschwindigkeit eines Körpers, der sich entlang einer bestimmten gekrümmten Bahn bewegt, durch die folgende Funktion der Zeit beschrieben wird:
v=2t2+ 3t + 5
Es ist notwendig, die Formel für die Tangentialbeschleunigung zu bestimmen und ihren Wert zum Zeitpunkt t=5 Sekunden zu finden.
Schreiben wir zuerst die Formel für den Tangentialbeschleunigungsmodul:
at=dv/dt
Das heißt, um die Funktion at(t) zu berechnen, musst du die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit bestimmen. Wir haben:
at=d(2t2+ 3t + 5)/dt=4t + 3
Einsetzen der Zeit t=5 Sekunden in den resultierenden Ausdruck ergibt die Antwort: at=23 m/s2.
Beachten Sie, dass der Graph der Geschwindigkeit über der Zeit in dieser Aufgabe eine Parabel ist, während der Graph der Tangentialbeschleunigung eine gerade Linie ist.
Tangentialbeschleunigungsaufgabe
Es ist bekannt, dass der materielle Punkt ab dem Zeitpunkt Null eine gleichmäßig beschleunigte Rotation begann. 10 Sekunden nach dem Beginn der Rotation wurde seine Zentripetalbeschleunigung gleich 20 m/s2. Es ist notwendig, die Tangentialbeschleunigung eines Punktes nach 10 Sekunden zu bestimmen, wenn bekannt ist, dass der Rotationsradius 1 Meter beträgt.
Schreiben Sie zuerst die Formel für die zentripetale oder normale Beschleunigung ac:
ac=v2/r
Mit der Formel für den Zusammenhang zwischen Linear- und Winkelgeschwindigkeit erh alten wir:
ac=ω2r
Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung hängen Geschwindigkeit und Winkelbeschleunigung durch die Formel zusammen:
ω=αt
Einsetzen von ω in die Gleichung für ac ergibt:
ac=α2t2r
Linearbeschleunigung durch Tangentialbeschleunigung wird wie folgt ausgedrückt:
α=at/r
Setze die letzte Gleichheit in die vorletzte ein, wir erh alten:
ac=at2/r2 t2r=at2/rt2=>
at=√(acr)/t
Die letzte Formel führt unter Berücksichtigung der Daten aus der Problemstellung zur Antwort: at=0, 447m/s2.
