Ein wichtiges Konzept in der Mathematik ist eine Funktion. Mit seiner Hilfe können Sie viele in der Natur ablaufende Prozesse visualisieren, den Zusammenhang zwischen bestimmten Größen anhand von Formeln, Tabellen und Bildern grafisch darstellen. Ein Beispiel ist die Abhängigkeit des Drucks einer Flüssigkeitsschicht auf einen Körper von der Eintauchtiefe, Beschleunigung - von der Einwirkung einer bestimmten Kraft auf ein Objekt, Temperaturerhöhung - von der übertragenen Energie und vielen anderen Prozessen. Das Studium einer Funktion beinh altet die Konstruktion eines Diagramms, die Klärung seiner Eigenschaften, des Umfangs und der Werte sowie der Intervalle der Zunahme und Abnahme. Ein wichtiger Punkt in diesem Prozess ist das Finden der Extrempunkte. Darüber, wie man es richtig macht, und das Gespräch wird weitergehen.
Über das Konzept selbst an einem konkreten Beispiel
In der Medizin kann das Zeichnen eines Funktionsdiagramms über den Fortschritt einer Krankheit im Körper eines Patienten Auskunft geben und seinen Zustand visuell widerspiegeln. Nehmen wir an, dass die Zeit in Tagen entlang der OX-Achse und die Temperatur des menschlichen Körpers entlang der OY-Achse aufgetragen ist. Die Abbildung zeigt deutlich, wie dieser Indikator stark ansteigt unddann fällt es. Es ist auch leicht, einzelne Punkte zu erkennen, die die Momente widerspiegeln, in denen die Funktion, nachdem sie zuvor zugenommen hat, abzunehmen beginnt und umgekehrt. Dies sind die Extrempunkte, dh die kritischen Werte (Maximum und Minimum) in diesem Fall der Temperatur des Patienten, nach denen Änderungen in seinem Zustand auftreten.
Neigungswinkel
Aus der Abbildung lässt sich leicht bestimmen, wie sich die Ableitung einer Funktion ändert. Wenn die geraden Linien des Diagramms im Laufe der Zeit nach oben gehen, ist es positiv. Und je steiler sie sind, desto größer ist der Wert der Ableitung, wenn der Neigungswinkel zunimmt. Während Perioden des Abfalls nimmt dieser Wert negative Werte an und geht an Extrempunkten auf Null, und der Graph der Ableitung wird im letzteren Fall parallel zur OX-Achse gezeichnet.
Jeder andere Prozess sollte genauso behandelt werden. Aber das Beste an diesem Konzept kann die Bewegung verschiedener Körper sein, die in den Grafiken deutlich dargestellt werden.
Bewegung
Angenommen, ein Objekt bewegt sich in einer geraden Linie und gewinnt gleichmäßig an Geschwindigkeit. Während dieser Zeit stellt die Änderung der Koordinaten des Körpers grafisch eine bestimmte Kurve dar, die ein Mathematiker als Ast einer Parabel bezeichnen würde. Gleichzeitig nimmt die Funktion stetig zu, da sich die Koordinatenanzeigen mit jeder Sekunde immer schneller ändern. Das Geschwindigkeitsdiagramm zeigt das Verh alten der Ableitung, deren Wert ebenfalls zunimmt. Das bedeutet, dass die Bewegung keine kritischen Punkte hat.
Es wäre unendlich weitergegangen. Aber wenn der Körper plötzlich beschließt, langsamer zu werden, h alten Sie an und beginnen Sie, sich in einem anderen zu bewegenRichtung? In diesem Fall beginnen die Koordinatenanzeigen zu sinken. Und die Funktion passiert den kritischen Wert und wechselt von steigend zu fallend.
In diesem Beispiel können Sie wieder verstehen, dass die Extrempunkte auf dem Funktionsgraphen in den Momenten erscheinen, in denen er aufhört, monoton zu sein.
Physikalische Bedeutung der Ableitung
Die frühere Beschreibung zeigte deutlich, dass die Ableitung im Wesentlichen die Änderungsrate der Funktion ist. Diese Verfeinerung enthält ihre physikalische Bedeutung. Extrempunkte sind kritische Bereiche auf dem Diagramm. Es ist möglich, sie herauszufinden und zu erkennen, indem man den Wert der Ableitung berechnet, die sich als gleich Null herausstellt.
Es gibt noch ein weiteres Zeichen, das eine hinreichende Bedingung für ein Extremum ist. Die Ableitung an solchen Wendestellen ändert ihr Vorzeichen: von "+" nach "-" im Bereich des Maximums und von "-" nach "+" im Bereich des Minimums.
Bewegung unter dem Einfluss der Schwerkraft
Stellen wir uns eine andere Situation vor. Die Kinder, die Ball spielten, warfen es so, dass es sich schräg zum Horizont zu bewegen begann. Im Anfangsmoment war die Geschwindigkeit dieses Objekts am größten, aber unter dem Einfluss der Schwerkraft begann sie abzunehmen, und zwar mit jeder Sekunde um den gleichen Wert, der ungefähr 9,8 m/s entspricht2. Das ist der Wert der Beschleunigung, die unter dem Einfluss der Erdanziehungskraft beim freien Fall auftritt. Auf dem Mond wäre er etwa sechsmal kleiner.
Der Graph, der die Bewegung des Körpers beschreibt, ist eine Parabel mit Zweigen,nach unten. Wie finde ich Extrempunkte? In diesem Fall ist dies der Scheitelpunkt der Funktion, an dem die Geschwindigkeit des Körpers (Ball) den Wert Null annimmt. Die Ableitung der Funktion wird Null. In diesem Fall ändert sich die Richtung und damit der Wert der Geschwindigkeit ins Gegenteil. Der Körper fliegt mit jeder Sekunde schneller und schneller nach unten und beschleunigt um den gleichen Betrag - 9,8 m/s2.
Zweite Ableitung
Im vorigen Fall wird der Graph des Geschwindigkeitsmoduls als Gerade gezeichnet. Diese Linie ist zunächst nach unten gerichtet, da der Wert dieser Größe stetig abnimmt. Nachdem zu einem der Zeitpunkte Null erreicht wurde, beginnen die Indikatoren dieses Werts zu steigen, und die Richtung der grafischen Darstellung des Geschwindigkeitsmoduls ändert sich dramatisch. Die Linie zeigt jetzt nach oben.
Geschwindigkeit, die die zeitliche Ableitung der Koordinate ist, hat auch einen kritischen Punkt. In diesem Bereich beginnt die zunächst abnehmende Funktion anzusteigen. Dies ist der Ort des Extremums der Ableitung der Funktion. In diesem Fall wird die Steigung der Tangente Null. Und die Beschleunigung, die die zweite Ableitung der Koordinate nach der Zeit ist, ändert das Vorzeichen von „-“zu „+“. Und die Bewegung von gleichmäßig langsam wird gleichmäßig beschleunigt.
Beschleunigungsdiagramm
Betrachte nun vier Bilder. Jeder von ihnen zeigt ein Diagramm der zeitlichen Änderung einer solchen physikalischen Größe wie Beschleunigung. Im Fall von "A" bleibt sein Wert positiv und konstant. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Körpers ebenso wie seine Koordinate ständig zunimmt. Wenn einStellen Sie sich vor, dass sich das Objekt unendlich lange auf diese Weise bewegt, wird sich herausstellen, dass die Funktion, die die Abhängigkeit der Koordinate von der Zeit widerspiegelt, ständig ansteigt. Daraus folgt, dass es keine kritischen Bereiche hat. Es gibt auch keine Extrempunkte auf dem Graphen der Ableitung, dh sich linear ändernde Geschwindigkeit.
Gleiches gilt für den Fall "B" mit positiver und stetig steigender Beschleunigung. Richtig, die Plots für Koordinaten und Geschwindigkeit werden hier etwas komplizierter.
Wenn die Beschleunigung gegen Null geht
Beim Betrachten des Bildes „B“sieht man ein ganz anderes Bild, das die Bewegung des Körpers charakterisiert. Seine Geschwindigkeit wird grafisch als Parabel mit nach unten gerichteten Ästen dargestellt. Wenn wir die Linie, die die Beschleunigungsänderung beschreibt, fortsetzen, bis sie die OX-Achse schneidet, und weiter, dann können wir uns vorstellen, dass bis zu diesem kritischen Wert, bei dem sich die Beschleunigung als gleich Null herausstellt, die Geschwindigkeit des Objekts zunimmt immer langsamer. Der Extrempunkt der Ableitung der Koordinatenfunktion befindet sich genau an der Spitze der Parabel, wonach der Körper die Art der Bewegung radikal ändert und beginnt, sich in die andere Richtung zu bewegen.
Im letzteren Fall "G" kann die Art der Bewegung nicht genau bestimmt werden. Hier wissen wir nur, dass es für einige betrachtete Zeiträume keine Beschleunigung gibt. Das bedeutet, dass das Objekt an Ort und Stelle bleiben kann oder die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit erfolgt.
Zusatzaufgabe koordinieren
Kommen wir zu Aufgaben, die im Studium der Algebra in der Schule oft vorkommen und angeboten werdenVorbereitung auf die Prüfung. Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion. Es ist erforderlich, die Summe der Extrempunkte zu berechnen.
Lassen Sie uns dies für die y-Achse tun, indem wir die Koordinaten der kritischen Bereiche bestimmen, in denen eine Änderung der Eigenschaften der Funktion beobachtet wird. Einfach ausgedrückt, finden wir die Werte entlang der x-Achse für die Wendepunkte und fügen dann die resultierenden Terme hinzu. Gemäß der Grafik ist es offensichtlich, dass sie die folgenden Werte annehmen: -8; -7; -5; -3; -2; ein; 3. Dies ergibt -21, was die Antwort ist.
Optimale Lösung
Wie wichtig die Wahl der optimalen Lösung bei der Bewältigung praktischer Aufgaben sein kann, muss nicht erläutert werden. Schließlich gibt es viele Wege zum Ziel, und der beste Ausweg ist in der Regel nur einer. Dies ist zum Beispiel beim Entwerfen von Schiffen, Raumfahrzeugen und Flugzeugen sowie architektonischen Strukturen äußerst notwendig, um die optimale Form dieser von Menschenhand geschaffenen Objekte zu finden.
Die Geschwindigkeit von Fahrzeugen hängt weitgehend von der kompetenten Minimierung des Widerstands ab, den sie erfahren, wenn sie sich durch Wasser und Luft bewegen, von Überlastungen, die unter dem Einfluss von Gravitationskräften und vielen anderen Indikatoren auftreten. Ein Schiff auf See braucht Eigenschaften wie Stabilität bei Sturm, für ein Flussschiff ist ein Mindesttiefgang wichtig. Bei der Berechnung des optimalen Designs können die Extrempunkte in der Grafik visuell eine Vorstellung von der besten Lösung für ein komplexes Problem vermitteln. Aufgaben dieser Art sind häufigwerden in der Wirtschaft, in Wirtschaftsbereichen, in vielen anderen Lebenssituationen gelöst.
Aus der alten Geschichte
Extreme Probleme beschäftigten sogar die alten Weisen. Griechischen Wissenschaftlern gelang es, das Geheimnis von Flächen und Volumen durch mathematische Berechnungen zu lüften. Sie verstanden als erste, dass auf einer Ebene verschiedener Figuren mit gleichem Umfang der Kreis immer die größte Fläche hat. In ähnlicher Weise hat eine Kugel unter anderen Objekten im Raum mit der gleichen Oberfläche das maximale Volumen. Solche berühmten Persönlichkeiten wie Archimedes, Euklid, Aristoteles, Apollonius widmeten sich der Lösung solcher Probleme. Heron gelang es sehr gut, Extrempunkte zu finden, die, nachdem sie auf Berechnungen zurückgegriffen hatten, geniale Geräte konstruierten. Dazu gehörten Automaten, die sich mit Dampf bewegen, Pumpen und Turbinen, die nach dem gleichen Prinzip arbeiten.
Bau von Karthago
Es gibt eine Legende, deren Handlung darauf basiert, eines der extremen Probleme zu lösen. Das Ergebnis des Geschäftsansatzes der phönizischen Prinzessin, die sich hilfesuchend an die Weisen wandte, war der Bau von Karthago. Das Grundstück für diese alte und berühmte Stadt wurde Dido (so hieß der Herrscher) vom Anführer eines der afrikanischen Stämme geschenkt. Die Fläche der Schrebergarten erschien ihm zunächst nicht sehr groß, da sie laut Vertrag mit einer Ochsenhaut bedeckt werden musste. Aber die Prinzessin befahl ihren Soldaten, es in dünne Streifen zu schneiden und daraus einen Gürtel zu machen. Es stellte sich heraus, dass es so lang war, dass es die Website bedeckte,wo die ganze Stadt hineinpasst.
Die Ursprünge der Infinitesimalrechnung
Und jetzt lass uns von der Antike zu einer späteren Ära übergehen. Interessanterweise wurde Kepler im 17. Jahrhundert durch ein Treffen mit einem Weinhändler aufgefordert, die Grundlagen der mathematischen Analyse zu verstehen. Der Kaufmann war so versiert in seinem Beruf, dass er das Volumen des Getränks im Fass leicht bestimmen konnte, indem er einfach eine eiserne Aderpresse hineinsenkte. In Anbetracht einer solchen Neugier gelang es dem berühmten Wissenschaftler, dieses Dilemma für sich selbst zu lösen. Es stellte sich heraus, dass geschickte Küfer jener Zeit den Dreh raus hatten, Gefäße so herzustellen, dass sie bei einer bestimmten Höhe und einem bestimmten Radius des Umfangs der Befestigungsringe ein maximales Fassungsvermögen hatten.
Das war für Kepler Anlass zum Nachdenken. Durch langes Suchen, Fehler und neue Versuche kam Bochars zur optimalen Lösung und gab seine Erfahrung von Generation zu Generation weiter. Aber Kepler wollte den Prozess beschleunigen und durch mathematische Berechnungen in kurzer Zeit lernen, das Gleiche zu tun. Alle seine Entwicklungen, von Kollegen aufgegriffen, wurden zu den heute bekannten Sätzen von Fermat und Newton - Leibniz.
Problem mit maximaler Fläche
Stellen wir uns vor, wir haben einen Draht mit einer Länge von 50 cm. Wie macht man daraus ein Rechteck mit der größten Fläche?
Bei einer Entscheidung sollte man von einfachen und bekannten Wahrheiten ausgehen. Es ist klar, dass der Umfang unserer Figur 50 cm betragen wird und auch aus der doppelten Länge beider Seiten besteht. Das bedeutet, dass, nachdem einer von ihnen als "X" bezeichnet wurde, der andere als (25 - X) ausgedrückt werden kann.
Von hier bekommen wireine Fläche gleich X (25 - X). Dieser Ausdruck kann als Funktion dargestellt werden, die viele Werte annimmt. Die Lösung des Problems erfordert das Finden des Maximums von ihnen, was bedeutet, dass Sie die Extrempunkte herausfinden sollten.
Dazu finden wir die erste Ableitung und setzen sie mit Null gleich. Das Ergebnis ist eine einfache Gleichung: 25 - 2X=0.
Daraus erfahren wir, dass eine der Seiten X=12, 5.
Daher noch eins: 25 – 12, 5=12, 5.
Es stellt sich heraus, dass die Lösung des Problems ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 12,5 cm sein wird.
Höchstgeschwindigkeit ermitteln
Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel betrachten. Stellen Sie sich vor, es gäbe einen Körper, dessen geradlinige Bewegung durch die Gleichung S=- t3 + 9t2 – 24t – 8 beschrieben wird, wobei der Abstand Die zurückgelegte Strecke wird in Metern und die Zeit in Sekunden angegeben. Es ist erforderlich, die maximale Geschwindigkeit zu finden. Wie kann man es machen? Heruntergeladen finden Sie die Geschwindigkeit, dh die erste Ableitung.
Wir erh alten die Gleichung: V=- 3t2 + 18t – 24. Um das Problem zu lösen, müssen wir nun wieder die Extrempunkte finden. Dies muss auf die gleiche Weise wie in der vorherigen Aufgabe erfolgen. Finden Sie die erste Ableitung der Geschwindigkeit und setzen Sie sie mit Null gleich.
Wir bekommen: - 6t + 18=0. Also t=3 s. Dies ist die Zeit, in der die Geschwindigkeit des Körpers einen kritischen Wert annimmt. Wir setzen die erh altenen Daten in die Geschwindigkeitsgleichung ein und erh alten: V=3 m/s.
Aber wie kann man verstehen, dass dies genau die maximale Geschwindigkeit ist, weil die kritischen Punkte einer Funktion ihre Maximal- oder Minimalwerte sein können? Um dies zu überprüfen, müssen Sie einen zweiten findenAbleitung der Geschwindigkeit. Es wird als Zahl 6 mit einem Minuszeichen ausgedrückt. Das bedeutet, dass der gefundene Punkt das Maximum ist. Und bei einem positiven Wert der zweiten Ableitung gäbe es ein Minimum. Die gefundene Lösung stellte sich also als richtig heraus.
Die beispielhaften Aufgaben sind nur ein Teil derjenigen, die gelöst werden können, indem man die Extrempunkte einer Funktion finden kann. Tatsächlich gibt es noch viel mehr. Und solches Wissen eröffnet unbegrenzte Möglichkeiten für die menschliche Zivilisation.
