Schon in der Grundschule werden Schüler mit Brüchen konfrontiert. Und dann erscheinen sie in jedem Thema. Es ist unmöglich, Aktionen mit diesen Zahlen zu vergessen. Daher müssen Sie alle Informationen über gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche kennen. Diese Konzepte sind einfach, die Hauptsache ist, alles der Reihe nach zu verstehen.
Warum brauchen wir Brüche?
Die Welt um uns herum besteht aus ganzen Objekten. Daher sind keine Aktien erforderlich. Aber der Alltag drängt die Menschen ständig dazu, mit Teilen von Objekten und Dingen zu arbeiten.
Zum Beispiel besteht Schokolade aus mehreren Scheiben. Betrachten Sie die Situation, in der seine Kachel aus zwölf Rechtecken besteht. Wenn Sie es in zwei Teile teilen, erh alten Sie 6 Teile. Es wird gut dreigeteilt. Aber fünf kann man nicht eine ganze Anzahl Schokoladenstücke geben.
Diese Scheiben sind übrigens schon Brüche. Und ihre weitere Division führt zu komplexeren Zahlen.
Was ist ein "Bruch"?
Dies ist eine Zahl, die aus Teilen von einer besteht. Äußerlich sieht es aus wie zwei Zahlen, die durch getrennt sindhorizontal oder Schrägstrich. Diese Funktion wird als fraktioniert bezeichnet. Die oben (links) geschriebene Zahl heißt Zähler. Der darunter (rechts) ist der Nenner.
Tatsächlich entpuppt sich der Bruchstrich als Divisionszeichen. Das heißt, der Zähler kann als Dividende und der Nenner als Divisor bezeichnet werden.
Welche Brüche gibt es?
In der Mathematik gibt es nur zwei Arten davon: gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche. Schulkinder lernen die ersten in den Grundschulklassen kennen und nennen sie einfach „Brüche“. Die zweiten lernen in der 5. Klasse. Dann erscheinen diese Namen.
Gewöhnliche Brüche - all jene, die als zwei durch einen Strich getrennte Zahlen geschrieben werden. Zum Beispiel 4/7. Dezimal ist eine Zahl, bei der der Bruchteil eine Stellenschreibweise hat und durch ein Komma von der ganzen Zahl getrennt ist. Zum Beispiel 4, 7. Den Schülern muss klar sein, dass die beiden angegebenen Beispiele völlig unterschiedliche Zahlen sind.
Jeder einfache Bruch kann als Dezimalzahl geschrieben werden. Diese Aussage gilt fast immer auch umgekehrt. Es gibt Regeln, die es dir erlauben, einen Dezimalbruch als gewöhnlichen Bruch zu schreiben.
Welche Untertypen haben diese Arten von Brüchen?
Beginnen Sie besser in chronologischer Reihenfolge, während sie studiert werden. Gemeinsame Brüche kommen zuerst. Unter ihnen lassen sich 5 Unterarten unterscheiden.
- Richtig. Sein Zähler ist immer kleiner als der Nenner.
- Falsch. Ihr Zähler ist größer oder gleich dem Nenner.
- Reduzierbar/nicht reduzierbar. Sie mag seinrichtig und falsch. Eine andere Sache ist wichtig, ob Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben. Wenn ja, dann sollen sie beide Teile des Bruchs dividieren, also kürzen.
- Gemischt. Eine ganze Zahl wird ihrem üblichen richtigen (falschen) Bruchteil zugeordnet. Und es steht immer links.
- Zusammengesetzt. Es wird aus zwei ineinander geteilten Fraktionen gebildet. Das heißt, es enthält drei Bruchmerkmale gleichzeitig.
Dezimalbrüche haben nur zwei Untertypen:
- final, d.h. einer, dessen Bruchteil begrenzt ist (ein Ende hat);
- unendlich - eine Zahl, deren Nachkommastellen nicht enden (sie können endlos geschrieben werden).
Wie konvertiert man eine Dezimalzahl in einen gewöhnlichen Bruch?
Wenn dies eine endliche Zahl ist, dann wird die Assoziation nach der Regel angewendet - wie ich höre, so schreibe ich. Das heißt, Sie müssen es richtig lesen und aufschreiben, aber ohne Komma, aber mit einem Bruchstrich.
Als Hinweis auf den erforderlichen Nenner sei daran erinnert, dass es sich immer um eine Eins und einige Nullen handelt. Letztere müssen so viele geschrieben werden wie die Ziffern im Bruchteil der betreffenden Zahl.
Wie konvertiert man Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche, wenn ihr ganzer Teil fehlt, also gleich Null ist? Zum Beispiel 0,9 oder 0,05 Nach Anwendung der angegebenen Regel stellt sich heraus, dass Sie null ganze Zahlen schreiben müssen. Aber es wird nicht angezeigt. Es bleibt nur die Bruchteile aufzuschreiben. Bei der ersten Nummerder Nenner ist gleich 10, der zweite hat 100. Das heißt, die angegebenen Beispiele haben Zahlen als Antworten: 9/10, 5/100. Außerdem kann letzteres um 5 reduziert werden. Daher sollte das Ergebnis dafür 1/20 geschrieben werden.
Wie macht man aus einer Dezimalzahl einen gewöhnlichen Bruch, dessen ganzzahliger Teil von Null verschieden ist? Zum Beispiel 5, 23 oder 13, 00108. Beide Beispiele lesen den ganzzahligen Teil und schreiben seinen Wert. Im ersten Fall ist dies 5, im zweiten - 13. Dann müssen Sie zum Bruchteil übergehen. Mit ihnen muss man die gleiche Operation durchführen. Die erste Zahl erscheint 23/100, die zweite - 108/100000. Der zweite Wert muss wieder reduziert werden. Die Antwort sind gemischte Brüche: 5 23/100 und 13 27/25000.
Wie konvertiert man eine unendliche Dezimalzahl in einen gewöhnlichen Bruch?
Wenn es nicht periodisch ist, dann kann eine solche Operation nicht durchgeführt werden. Diese Tatsache ist darauf zurückzuführen, dass jeder Dezimalbruch immer entweder in einen endgültigen oder einen periodischen Bruch umgewandelt wird.
Mit einem solchen Bruch kann man nur runden. Aber dann wird die Dezimalzahl ungefähr gleich dieser Unendlichkeit sein. Es kann bereits in ein gewöhnliches verwandelt werden. Aber der umgekehrte Vorgang: Umwandeln in Dezimalzahlen - wird niemals den Anfangswert ergeben. Das heißt, unendliche nicht periodische Brüche werden nicht in gewöhnliche Brüche umgewandelt. Daran sollten Sie sich erinnern.
Wie schreibt man einen unendlichen periodischen Bruch als gemeinsamen Bruch?
Bei diesen Zahlen stehen nach dem Komma immer eine oder mehrere Ziffern, die sich wiederholen. Sie werden Perioden genannt. Zum Beispiel 03(3). Hier "3" im Punkt. Sie werden als rational klassifiziert, weil sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden können.
Diejenigen, die periodischen Brüchen begegnet sind, wissen, dass sie rein oder gemischt sein können. Im ersten Fall beginnt der Punkt direkt mit dem Komma. Im zweiten beginnt der Bruchteil mit beliebigen Zahlen, dann beginnt die Wiederholung.
Die Regel, nach der Sie eine unendliche Dezimalzahl als gewöhnlichen Bruch schreiben müssen, ist für diese beiden Arten von Zahlen unterschiedlich. Es ist ziemlich einfach, reine periodische Brüche als gewöhnliche Brüche zu schreiben. Wie bei den letzten müssen sie umgewandelt werden: Schreiben Sie den Punkt in den Zähler, und die Zahl 9 wird der Nenner, und wiederholen Sie dies so oft, wie der Punkt Ziffern enthält.
Zum Beispiel 0, (5). Die Zahl hat keinen ganzzahligen Teil, daher müssen Sie sofort mit dem Bruchteil fortfahren. Schreiben Sie in den Zähler 5 und in den Nenner 9. Das Ergebnis ist also der Bruch 5/9.
Die Regel, wie man einen gewöhnlichen periodischen Dezimalbruch schreibt, der gemischt ist.
- Zähle die Nachkommastellen bis zum Punkt. Sie geben die Anzahl der Nullen im Nenner an.
- Sehen Sie sich die Länge des Zeitraums an. So viel 9 wird einen Nenner haben.
- Nenner notieren: zuerst Neunen, dann Nullen.
- Um den Zähler zu bestimmen, musst du die Differenz zweier Zahlen aufschreiben. Alle Nachkommastellen werden zusammen mit dem Punkt gekürzt. Subtrahierbar - es ist ohne Punkt.
Zum Beispiel 0, 5(8) - schreiben Sie den periodischen Dezimalbruch als gemeinsamen Bruch. Der Bruchteil vor dem Punkt isteine Ziffer. Null wird also eins sein. Es gibt auch nur eine Ziffer im Punkt - 8. Das heißt, es gibt nur eine Neun. Das heißt, im Nenner müssen Sie 90 schreiben.
Um den Zähler von 58 zu bestimmen, müssen Sie 5 subtrahieren. Es ergibt 53. Zum Beispiel muss die Antwort 53/90 geschrieben werden.
Wie wandelt man gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen um?
Die einfachste Möglichkeit ist eine Zahl, deren Nenner die Zahl 10, 100 und so weiter ist. Dann wird der Nenner einfach verworfen und ein Komma zwischen Bruch- und Ganzzahlteil gesetzt.
Es gibt Situationen, in denen sich der Nenner leicht in 10, 100 usw. verwandelt. Zum Beispiel die Zahlen 5, 20, 25. Es reicht aus, sie mit 2, 5 bzw. 4 zu multiplizieren. Es ist nur eine Multiplikation nicht nur für den Nenner, sondern auch für den Zähler mit der gleichen Zahl erforderlich.
Für alle anderen Fälle hilft eine einfache Regel: Teile den Zähler durch den Nenner. In diesem Fall erh alten Sie möglicherweise zwei Antworten: einen endgültigen oder einen periodischen Dezimalbruch.
Aktionen mit gemeinsamen Brüchen
Addition und Subtraktion
Schüler lernen sie vor anderen kennen. Und zuerst haben die Brüche die gleichen Nenner und dann verschiedene. Die allgemeinen Regeln können auf diesen Plan reduziert werden.
- Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.
- Zusätzliche Faktoren zu allen gängigen Brüchen aufzeichnen.
- Zähler und Nenner mit den dafür definierten Faktoren multiplizieren.
- Addiere (subtrahiere) die Zähler von Brüchen und lasse den gemeinsamen Nenner wegÄnderungen.
- Wenn der Zähler des Minuends kleiner als der Subtrahend ist, müssen Sie herausfinden, ob wir eine gemischte Zahl oder einen echten Bruch haben.
- Im ersten Fall muss der ganzzahlige Teil eins annehmen. Addiere einen Nenner zum Zähler eines Bruchs. Und dann die Subtraktion.
- In der zweiten - ist es notwendig, die Subtraktionsregel von einer kleineren Zahl auf eine größere anzuwenden. Das heißt, subtrahieren Sie den Modulus des Minuends vom Modulus des Subtrahends und geben Sie das „-“-Zeichen als Antwort ein.
- Schau dir das Ergebnis der Addition (Subtraktion) genau an. Wenn Sie einen unechten Bruch erh alten, soll er den ganzen Teil auswählen. Das heißt, dividiere den Zähler durch den Nenner.
Multiplikation und Division
Brüche müssen für ihre Umsetzung nicht auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Dies erleichtert das Handeln. Aber sie müssen sich trotzdem an die Regeln h alten.
- Bei der Multiplikation gewöhnlicher Brüche ist es notwendig, die Zahlen in Zähler und Nenner zu berücksichtigen. Wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben, können sie gekürzt werden.
- Zähler multiplizieren.
- Nenner multiplizieren.
- Wenn das Ergebnis ein gekürzter Bruch ist, soll er wieder vereinfacht werden.
- Beim Dividieren müssen Sie zuerst die Division durch Multiplikation und den Divisor (zweiter Bruch) durch einen Kehrwert ersetzen (Zähler und Nenner vertauschen).
- Vorgehen wie beim Multiplizieren (ab Schritt 1).
- Bei Aufgaben, bei denen Sie mit einer Ganzzahl multiplizieren (dividieren) müssen, die letztesollte als unechter Bruch geschrieben werden. Also mit Nenner 1. Dann wie oben beschrieben vorgehen.
Dezimaloperationen
Addition und Subtraktion
Natürlich kannst du eine Dezimalzahl immer in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln. Und handeln Sie nach dem bereits beschriebenen Plan. Aber manchmal ist es bequemer, ohne diese Übersetzung zu handeln. Dann sind die Regeln zum Addieren und Subtrahieren genau gleich.
- Gleicht die Anzahl der Stellen im Bruchteil der Zahl aus, also nach dem Dezimalpunkt. Weisen Sie darin die fehlende Anzahl Nullen zu.
- Brüche so schreiben, dass das Komma unter dem Komma steht.
- Addiere (subtrahiere) wie natürliche Zahlen.
- Entferne das Komma.
Multiplikation und Division
Es ist wichtig, dass Sie hier keine Nullen hinzufügen. Brüche sollen so belassen werden, wie sie im Beispiel angegeben sind. Und dann weiter nach Plan.
- Bei der Multiplikation schreibst du die Brüche untereinander, ignoriere die Kommas.
- Multiplikation wie natürliche Zahlen.
- Setze ein Komma in die Antwort und zähle vom rechten Ende der Antwort so viele Ziffern, wie sie in den Nachkommastellen beider Faktoren enth alten sind.
- Um zu dividieren, musst du zuerst den Divisor umwandeln: mach daraus eine natürliche Zahl. Das heißt, multiplizieren Sie es mit 10, 100 usw., je nachdem, wie viele Stellen der Bruchteil des Divisors sind.
- Multipliziere den Dividenden mit derselben Zahl.
- Eine Dezimalzahl durch eine natürliche Zahl dividieren.
- Setze ein Komma in die Antwort in dem Moment, in dem die Division des ganzzahligen Teils beendet ist.
Was ist, wenn es in einem Beispiel beide Arten von Brüchen gibt?
Ja, in der Mathematik gibt es oft Beispiele, in denen Sie Operationen mit gewöhnlichen Brüchen und Dezimalbrüchen durchführen müssen. Es gibt zwei mögliche Lösungen für diese Probleme. Sie müssen die Zahlen objektiv abwägen und die beste auswählen.
Erster Weg: Gewöhnliche Dezimalzahlen darstellen
Eignet sich, wenn Division oder Umrechnung endliche Brüche ergeben. Wenn mindestens eine Zahl einen periodischen Teil angibt, ist diese Technik verboten. Daher müssen Sie, selbst wenn Sie nicht gerne mit gewöhnlichen Brüchen arbeiten, diese zählen.
Zweiter Weg: Schreibe Dezimalbrüche als gewöhnliche Brüche
Diese Technik ist praktisch, wenn es 1-2 Nachkommastellen gibt. Wenn es mehr davon gibt, kann ein sehr großer gewöhnlicher Bruch herauskommen, und durch Dezimaleingaben können Sie die Aufgabe schneller und einfacher berechnen. Daher sollte man die Aufgabe immer nüchtern bewerten und den einfachsten Lösungsweg wählen.
