Gewöhnliche Brüche werden verwendet, um das Verhältnis eines Teils zu einem Ganzen anzugeben. Zum Beispiel wurde ein Kuchen unter fünf Kindern geteilt, sodass jedes ein Fünftel des Kuchens bekam (1/5).
Gerade Brüche sind Schreibweisen der Form a/b, wobei a und b beliebige natürliche Zahlen sind. Der Zähler ist die erste oder oberste Zahl, und der Nenner ist die zweite oder unterste Zahl. Der Nenner gibt die Anzahl der Teile an, durch die das Ganze geteilt wurde, und der Zähler gibt die Anzahl der genommenen Teile an.
Geschichte der gemeinsamen Brüche
Brüche werden erstmals in Handschriften des 8. Jahrhunderts erwähnt, viel später - im 17. Jahrhundert - werden sie "gebrochene Zahlen" genannt. Diese Zahlen kamen aus dem alten Indien zu uns, dann wurden sie von den Arabern verwendet, und im 12. Jahrhundert tauchten sie unter den Europäern auf.
Ursprünglich hatten gewöhnliche Brüche folgende Form: 1/2, 1/3, 1/4 usw. Solche Brüche, die eine Einheit im Zähler hatten und als Brüche eines Ganzen bezeichnet wurden, wurden Grundbrüche genannt. Viele Jahrhunderte späterdie Griechen und nach ihnen die Inder begannen, andere Brüche zu verwenden, von denen Teile aus beliebigen natürlichen Zahlen bestehen konnten.
Klassifizierung gemeinsamer Brüche
Es gibt richtige und unechte Brüche. Die richtigen sind diejenigen, bei denen der Nenner größer als der Zähler ist, und die falschen umgekehrt.
Jeder Bruch ist das Ergebnis eines Quotienten, daher kann der Bruchstrich getrost durch ein Divisionszeichen ersetzt werden. Eine Aufzeichnung dieses Typs wird verwendet, wenn eine Teilung nicht vollständig durchgeführt werden kann. Nehmen wir in Bezug auf das Beispiel am Anfang des Artikels an, dass das Kind einen Teil des Kuchens bekommt, nicht die ganze Leckerei.
Wenn eine Zahl eine so komplexe Schreibweise wie 2 3/5 (zwei ganze Zahlen und drei Fünftel) hat, dann ist sie gemischt, da eine natürliche Zahl auch einen Bruchteil hat. Alle unechten Brüche lassen sich frei in gemischte Zahlen umwandeln, indem der Zähler ganz durch den Nenner dividiert wird (also der ganze Teil vergeben wird), der Rest anstelle des Zählers mit bedingtem Nenner geschrieben wird. Nehmen wir als Beispiel den Bruch 77/15. Teilen Sie 77 durch 15, wir erh alten den ganzzahligen Teil 5 und den Rest 2. Daher erh alten wir die gemischte Zahl 5 2/15 (fünf ganze Zahlen und zwei Fünfzehntel).
Sie können auch die umgekehrte Operation durchführen - alle gemischten Zahlen werden leicht in falsche umgewandelt. Wir multiplizieren die natürliche Zahl (ganzzahliger Teil) mit dem Nenner und addieren sie mit dem Zähler des Bruchteils. Machen wir das obige mit dem Bruch 5 2/15. Wir multiplizieren 5 mit 15, wir erh alten 75. Dann addieren wir 2 zu der resultierenden Zahl, wir erh alten 77. Wir lassen den Nenner gleich, und hier ist der Bruch des gewünschten Typs - 77/15.
Reduktion gewöhnlichBrüche
Was impliziert die Operation des Kürzens von Brüchen? Dividieren von Zähler und Nenner durch eine Zahl ungleich Null, die der gemeinsame Teiler ist. In einem Beispiel sieht das so aus: 5/10 kann man um 5 kürzen. Zähler und Nenner werden komplett durch die Zahl 5 dividiert und man erhält den Bruch 1/2. Lässt sich ein Bruch nicht kürzen, so heißt er irreduzibel.
Damit Brüche der Form m/n und p/q gleich sind, muss folgende Gleichheit gelten: mq=np. Dementsprechend sind Brüche nicht gleich, wenn die Gleichheit nicht erfüllt ist. Auch Brüche werden verglichen. Von den Brüchen mit gleichem Nenner ist derjenige mit dem größeren Zähler größer. Umgekehrt ist bei Brüchen mit gleichem Zähler derjenige mit dem größeren Nenner kleiner. Leider können nicht alle Brüche auf diese Weise verglichen werden. Um Brüche zu vergleichen, müssen Sie sie oft auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD) bringen.
NOZ
Betrachten wir das an einem Beispiel: Wir müssen die Brüche 1/3 und 5/12 vergleichen. Wir arbeiten mit Nennern, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) für die Zahlen 3 und 12 - 12. Als nächstes wenden wir uns den Zählern zu. Wir teilen das LCM durch den ersten Nenner, wir erh alten die Zahl 4 (dies ist ein zusätzlicher Faktor). Dann multiplizieren wir die Zahl 4 mit dem Zähler des ersten Bruchs, sodass ein neuer Bruch 4/12 entsteht. Außerdem können wir, geleitet von einfachen Grundregeln, Brüche leicht vergleichen: 4/12 < 5/12, was 1/3 < 5/12 bedeutet.
Erinnere dich: Wenn der Zähler Null ist, dann ist der ganze Bruch Null. Aber der Nenner kann nie gleich Null sein, da man nicht durch Null teilen kann. Wannder Nenner gleich eins ist, dann ist der Wert des ganzen Bruchs gleich dem Zähler. Es stellt sich heraus, dass jede Zahl frei als Zähler und Nenner der Einheit dargestellt werden kann: 5/1, 4/1 und so weiter.
Rechenoperationen mit Brüchen
Der Vergleich von Brüchen wurde oben besprochen. Wenden wir uns der Berechnung von Summe, Differenz, Produkt und Partialbrüchen zu:
Addition oder Subtraktion wird nur nach Reduktion der Brüche auf NOZ durchgeführt. Danach werden die Zähler addiert oder subtrahiert und mit unverändertem Nenner geschrieben: 5/7 + 1/7=6/7, 5/7 - 1/7=4/7
- Die Multiplikation von Brüchen ist etwas anders: Sie arbeiten getrennt mit Zählern und dann mit Nennern: 5/71/7=(51) / (77)=5/49.
- Um Brüche zu dividieren, musst du den ersten mit dem Kehrwert des zweiten multiplizieren (Kehrwerte sind 5/7 und 7/5). Also: 5/7: 1/7=5/77/1=35/7=5.
Sie müssen wissen, dass bei der Arbeit mit gemischten Zahlen Operationen getrennt mit ganzzahligen Teilen und getrennt mit Bruchteilen ausgeführt werden: 5 5/7 + 3 1/7=8 6/7 (acht ganze Zahlen und sechs Siebtel). In diesem Fall haben wir 5 und 3 addiert, dann 5/7 mit 1/7. Bei Multiplikation oder Division solltest du gemischte Zahlen übersetzen und mit unechten Brüchen arbeiten.
Wahrscheinlich haben Sie nach dem Lesen dieses Artikels alles über gewöhnliche Brüche gelernt, von der Geschichte ihres Auftretens bis hin zu arithmetischen Operationen. Wir hoffen, dass alle Ihre Fragen geklärt sind.
