Der Fortschritt der Menschheit ist größtenteils auf die Entdeckungen von Genies zurückzuführen. Einer von ihnen ist Blaise Pascal. Seine kreative Biografie bestätigt einmal mehr die Wahrheit von Lion Feuchtwangers Ausdruck „Ein talentierter Mensch, talentiert in allem“. Alle wissenschaftlichen Errungenschaften dieses großen Wissenschaftlers sind schwer zu zählen. Darunter ist eine der elegantesten Erfindungen in der Welt der Mathematik - das Pascalsche Dreieck.
Ein paar Worte zum Genie
Blaise Pascal starb nach modernen Maßstäben früh im Alter von 39 Jahren. In seinem kurzen Leben zeichnete er sich jedoch als herausragender Physiker, Mathematiker, Philosoph und Schriftsteller aus. Ihm zu Ehren nannten dankbare Nachfahren die Druckeinheit und die beliebte Programmiersprache Pascal. Es wird seit fast 60 Jahren verwendet, um das Schreiben verschiedener Codes zu lehren. Mit seiner Hilfe kann jeder Schüler beispielsweise ein Programm schreiben, um die Fläche eines Dreiecks in Pascal zu berechnen und die Eigenschaften der Sch altung zu untersuchenwas weiter unten besprochen wird.
Die Tätigkeit dieses Wissenschaftlers mit außergewöhnlichem Denken erstreckt sich über eine Vielzahl von Wissenschaftsgebieten. Insbesondere Blaise Pascal ist einer der Begründer der Hydrostatik, der mathematischen Analyse, einiger Bereiche der Geometrie und der Wahrscheinlichkeitstheorie. Außerdem:
- erstellte einen mechanischen Taschenrechner, der als Pascal-Rad bekannt ist;
- lieferte experimentelle Beweise dafür, dass Luft Elastizität und Gewicht hat;
- stellte fest, dass ein Barometer verwendet werden kann, um das Wetter vorherzusagen;
- erfand die Schubkarre;
- erfand den Omnibus - Pferdekutschen mit festen Routen, die später die erste Art des öffentlichen Nahverkehrs wurden, etc.
Arithmetisches Dreieck von Pascal
Wie bereits erwähnt, leistete dieser große französische Wissenschaftler einen großen Beitrag zur mathematischen Wissenschaft. Eines seiner absoluten wissenschaftlichen Meisterwerke ist die „Abhandlung über das arithmetische Dreieck“, die aus in einer bestimmten Reihenfolge angeordneten Binomialkoeffizienten besteht. Die Eigenschaften dieses Schemas bestechen durch ihre Vielf alt und bestätigen selbst das Sprichwort „Alles Geniale ist einfach!“.
Ein bisschen Geschichte
Man muss fairerweise sagen, dass das Pascalsche Dreieck in Europa bereits zu Beginn des 16. Jahrhunderts bekannt war. Insbesondere ist sein Bild auf dem Umschlag eines Rechenlehrbuchs des berühmten Astronomen Peter Apian von der Universität Ingolstadt zu sehen. Ein ähnliches Dreieck ist auch als Illustration gezeigt.in einem Buch des chinesischen Mathematikers Yang Hui, veröffentlicht 1303. Auch der bemerkenswerte persische Dichter und Philosoph Omar Khayyam war sich seiner Eigenschaften zu Beginn des 12. Jahrhunderts bewusst. Außerdem wird angenommen, dass er ihn aus den früher geschriebenen Abhandlungen arabischer und indischer Wissenschaftler kennengelernt hat.
Beschreibung
Bevor wir die interessantesten Eigenschaften des Pascal-Dreiecks erkunden, das in seiner Perfektion und Einfachheit wunderschön ist, lohnt es sich zu wissen, was es ist.
Wissenschaftlich gesehen ist dieses Zahlenschema eine endlose Dreieckstabelle, die aus in einer bestimmten Reihenfolge angeordneten Binomialkoeffizienten gebildet wird. Oben und an den Seiten stehen die Zahlen 1. Die restlichen Positionen sind mit Zahlen besetzt, die gleich der Summe der beiden darüber nebeneinander liegenden Zahlen sind. Außerdem sind alle Linien des Pascalschen Dreiecks symmetrisch um seine vertikale Achse.
Grundfunktionen
Pascals Dreieck besticht durch seine Perfektion. Für jede Zeile mit der Nummer n (n=0, 1, 2…) gilt:
- erste und letzte Ziffer sind 1;
- zweites und vorletztes - n;
- die dritte Zahl ist gleich der Dreieckszahl (Anzahl der Kreise, die in einem gleichseitigen Dreieck angeordnet werden können, also 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Die vierte Zahl ist tetraedrisch, also eine Pyramide mit einem Dreieck an der Basis.
Außerdem wurde vor relativ kurzer Zeit, 1972, eine weitere Eigenschaft des Pascalschen Dreiecks festgestellt. Um für ihnUm dies herauszufinden, müssen Sie die Elemente dieses Schemas in Form einer Tabelle mit einer Zeilenverschiebung um 2 Positionen schreiben. Notieren Sie dann die Zahlen, die durch die Zeilennummer teilbar sind. Es stellt sich heraus, dass die Nummer der Sp alte, in der alle Zahlen markiert sind, eine Primzahl ist.
Derselbe Trick kann auch auf andere Weise ausgeführt werden. Dazu werden im Pascalschen Dreieck die Zahlen durch die Reste ihrer Division durch die Zeilennummer in der Tabelle ersetzt. Dann werden die Zeilen im resultierenden Dreieck so angeordnet, dass die nächste 2 Sp alten rechts vom ersten Element der vorherigen beginnt. Dann bestehen die Sp alten mit Zahlen, die Primzahlen sind, nur aus Nullen, und die mit zusammengesetzten Zahlen enth alten mindestens eine Null.
Zusammenhang mit Newtons Binom
Wie Sie wissen, ist dies der Name der Formel für die Entwicklung einer nicht negativen ganzzahligen Potenz der Summe zweier Variablen, die wie folgt aussieht:
Die darin enth altenen Koeffizienten sind gleich C m =n! / (m! (n - m)!), wobei m die Ordnungszahl in Zeile n des Pascalschen Dreiecks ist. Mit anderen Worten, wenn Sie diese Tabelle zur Hand haben, können Sie ganz einfach beliebige Zahlen potenzieren, nachdem Sie sie zuvor in zwei Terme zerlegt haben.
Pascalsches Dreieck und Newtonsches Binom sind also eng miteinander verwandt.
Mathematische Wunder
Eine genaue Untersuchung des Pascalschen Dreiecks zeigt Folgendes:
- die Summe aller Zahlen in der Zeile mitSeriennummer n (von 0 an gezählt) ist 2;
- wenn die Linien links ausgerichtet sind, dann sind die Summen der Zahlen, die sich entlang der Diagonalen des Pascalschen Dreiecks befinden, von unten nach oben und von links nach rechts, gleich den Fibonacci-Zahlen;
- die erste "Diagonale" besteht aus natürlichen Zahlen der Reihe nach;
- jedes Element des Pascalschen Dreiecks, reduziert um eins, ist gleich der Summe aller Zahlen innerhalb des Parallelogramms, das durch die linke und rechte Diagonale begrenzt ist, die sich auf dieser Zahl schneiden;
- In jeder Zeile des Diagramms ist die Summe der Zahlen an den geraden Stellen gleich der Summe der Elemente an den ungeraden Stellen.
Sierpinski-Dreieck
Ein solch interessantes mathematisches Schema, das im Hinblick auf die Lösung komplexer Probleme ziemlich vielversprechend ist, erhält man, indem man die geraden Zahlen des Pascal-Bildes in einer Farbe und die ungeraden Zahlen in einer anderen Farbe einfärbt.
Das Sierpinski-Dreieck kann auch anders aufgebaut werden:
- im schattierten Pascal-Schema wird das mittlere Dreieck in einer anderen Farbe neu gestrichen, die durch Verbinden der Mittelpunkte der Seiten des ursprünglichen Dreiecks entsteht;
- mache genau dasselbe mit drei unbem alten in den Ecken;
- wird das Verfahren endlos fortgesetzt, dann sollte das Ergebnis eine zweifarbige Figur sein.
Die interessanteste Eigenschaft des Sierpinski-Dreiecks ist seine Selbstähnlichkeit, da es aus 3 seiner Kopien besteht, die um das 2-fache reduziert sind. Es erlaubt uns, dieses Schema fraktalen Kurven zuzuschreiben, und sie, wie die neuesten zeigenDie Forschung eignet sich am besten für die mathematische Modellierung von Wolken, Pflanzen, Flussdeltas und des Universums selbst.
Mehrere interessante Aufgaben
Wo wird das Pascalsche Dreieck verwendet? Beispiele für Aufgaben, die mit ihrer Hilfe gelöst werden können, sind sehr vielfältig und gehören zu verschiedenen Wissenschaftsgebieten. Werfen wir einen Blick auf einige der interessanteren.
Problem 1. Eine große Stadt, die von einer Festungsmauer umgeben ist, hat nur ein Eingangstor. An der ersten Kreuzung teilt sich die Hauptstraße in zwei Teile. Dasselbe passiert bei jedem anderen. 210 Menschen betreten die Stadt. An jeder der Kreuzungen, an denen sie sich treffen, werden sie in zwei Hälften geteilt. Wie viele Personen werden an jeder Kreuzung zu finden sein, wenn das Teilen nicht mehr möglich ist. Ihre Antwort ist Zeile 10 des Pascalschen Dreiecks (die Koeffizientenformel ist oben dargestellt), wo sich die Zahlen 210 auf beiden Seiten der vertikalen Achse befinden.
Aufgabe 2. Es gibt 7 Farbnamen. Sie müssen einen Strauß aus 3 Blumen machen. Es gilt herauszufinden, auf wie viele verschiedene Arten dies geschehen kann. Dieses Problem stammt aus dem Gebiet der Kombinatorik. Zur Lösung verwenden wir wieder das Pascalsche Dreieck und erh alten in der 7. Zeile an dritter Stelle (Nummerierung jeweils von 0 an) die Zahl 35.
Jetzt weißt du, was der große französische Philosoph und Wissenschaftler Blaise Pascal erfunden hat. Sein berühmtes Dreieck kann bei richtiger Anwendung zu einem echten Lebensretter für die Lösung vieler Probleme werden, insbesondere aus dem FeldKombinatorik. Darüber hinaus kann es verwendet werden, um zahlreiche Rätsel im Zusammenhang mit Fraktalen zu lösen.
