In der Praxis treten häufig Aufgaben auf, die die Fähigkeit erfordern, Abschnitte aus geometrischen Formen verschiedener Formen zu bauen und die Fläche von Abschnitten zu finden. In diesem Artikel werden wir uns ansehen, wie wichtige Abschnitte eines Prismas, einer Pyramide, eines Kegels und eines Zylinders aufgebaut sind und wie ihre Flächen berechnet werden.
3D-Figuren
Aus der Stereometrie ist bekannt, dass eine dreidimensionale Figur beliebiger Art durch eine Anzahl von Flächen begrenzt wird. Beispielsweise sind diese Flächen für solche Polyeder wie ein Prisma und eine Pyramide die polygonalen Seiten. Bei einem Zylinder und einem Kegel handelt es sich um Rotationsflächen von Zylinder- und Kegelfiguren.
Wenn wir eine Ebene nehmen und willkürlich die Oberfläche einer dreidimensionalen Figur schneiden, erh alten wir einen Schnitt. Seine Fläche entspricht der Fläche des Teils der Ebene, der sich innerhalb des Volumens der Figur befindet. Der Mindestwert dieser Fläche ist Null, was realisiert wird, wenn das Flugzeug die Figur berührt. Beispielsweise erhält man einen Schnitt, der durch einen einzelnen Punkt gebildet wird, wenn die Ebene durch die Spitze einer Pyramide oder eines Kegels geht. Der Maximalwert der Querschnittsfläche hängt abdie relative Position der Figur und der Ebene sowie die Form und Größe der Figur.
Im Folgenden betrachten wir die Berechnung der Fläche geformter Schnitte für zwei Rotationsfiguren (Zylinder und Kegel) und zwei Polyeder (Pyramide und Prisma).
Zylinder
Kreiszylinder ist eine Rotationsfigur eines Rechtecks um eine seiner Seiten. Der Zylinder wird durch zwei lineare Parameter charakterisiert: Basisradius r und Höhe h. Das folgende Diagramm zeigt, wie ein kreisförmiger gerader Zylinder aussieht.
Für diese Figur gibt es drei wichtige Abschnittstypen:
- round;
- rechteckig;
- elliptisch.
Elliptisch entsteht durch die Ebene, die die Seitenfläche der Figur in einem gewissen Winkel zu ihrer Basis schneidet. Rund ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Schnittebene der Seitenfläche parallel zum Zylinderboden. Schließlich erhält man eine rechtwinklige, wenn die Schnittebene parallel zur Achse des Zylinders ist.
Kreisfläche wird nach folgender Formel berechnet:
S1=pir2
Die Fläche des axialen Schnitts, also des Rechtecks, der durch die Achse des Zylinders geht, ist wie folgt definiert:
S2=2rh
Kegelabschnitte
Ein Kegel ist eine Rotationsfigur eines rechtwinkligen Dreiecks um einen der Schenkel. Der Kegel hat eine Spitze und eine runde Basis. Seine Parameter sind ebenfalls Radius r und Höhe h. Unten sehen Sie ein Beispiel für einen Papierkegel.
Es gibt verschiedene Arten von Kegelschnitten. Lassen Sie uns sie auflisten:
- round;
- elliptisch;
- parabolisch;
- hyperbolisch;
- dreieckig.
Sie ersetzen sich gegenseitig, wenn Sie den Neigungswinkel der Sekantenebene relativ zur runden Basis vergrößern. Am einfachsten ist es, die Formeln für die Querschnittsfläche von rund und dreieckig aufzuschreiben.
Ein Kreisabschnitt entsteht durch den Schnitt einer Kegelfläche mit einer zur Grundfläche parallelen Ebene. Für seine Fläche gilt folgende Formel:
S1=pir2z2/h 2
Hier ist z der Abstand vom oberen Rand der Figur zum geformten Abschnitt. Es ist ersichtlich, dass bei z=0 die Ebene nur durch den Scheitelpunkt verläuft, sodass die Fläche S1 gleich Null ist. Seit z < h ist die Fläche des untersuchten Abschnitts immer kleiner als sein Wert für die Basis.
Dreieck entsteht, wenn die Ebene die Figur entlang ihrer Rotationsachse schneidet. Die Form des resultierenden Abschnitts ist ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Seiten der Durchmesser der Basis und zwei Generatoren des Kegels sind. Wie findet man die Querschnittsfläche eines Dreiecks? Die Antwort auf diese Frage wird die folgende Formel sein:
S2=rh
Diese Gleichheit erhält man, indem man die Formel für den Flächeninh alt eines beliebigen Dreiecks durch die Länge seiner Basis und Höhe anwendet.
Prismensegmente
Prisma ist eine große Klasse von Figuren, die durch das Vorhandensein von zwei identischen polygonalen Basen parallel zueinander gekennzeichnet sind,durch Parallelogramme verbunden. Jeder Abschnitt eines Prismas ist ein Polygon. Angesichts der Vielf alt der betrachteten Figuren (schiefe, gerade, n-eckige, regelmäßige, konkave Prismen) ist auch die Vielf alt ihrer Schnitte groß. Im Folgenden betrachten wir nur einige Spezialfälle.
Wenn die Schnittebene parallel zur Basis ist, dann ist die Querschnittsfläche des Prismas gleich der Fläche dieser Basis.
Verläuft die Ebene durch die geometrischen Mittelpunkte der beiden Grundflächen, also parallel zu den Seitenkanten der Figur, so entsteht im Schnitt ein Parallelogramm. Bei geraden und regelmäßigen Prismen ist die betrachtete Schnittansicht ein Rechteck.
Pyramide
Pyramide ist ein weiteres Polyeder, das aus einem n-Eck und n Dreiecken besteht. Unten sehen Sie ein Beispiel einer dreieckigen Pyramide.
Wenn der Schnitt durch eine Ebene gezeichnet wird, die parallel zur n-Eckbasis verläuft, dann ist seine Form genau gleich der Form der Basis. Die Fläche eines solchen Abschnitts wird nach folgender Formel berechnet:
S1=So(h-z)2/h 2
wobei z der Abstand von der Basis zur Schnittebene ist, So ist die Fläche der Basis.
Wenn die Schnittebene die Spitze der Pyramide enthält und ihre Basis schneidet, dann erh alten wir einen dreieckigen Schnitt. Um seine Fläche zu berechnen, müssen Sie sich auf die Verwendung der entsprechenden Formel für ein Dreieck beziehen.
