Das Studium der Wahrscheinlichkeitstheorie beginnt mit der Lösung von Problemen der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten. Gleich vorweg sei erwähnt, dass ein Studierender bei der Bewältigung dieses Wissensgebietes auf ein Problem stoßen kann: Wenn physikalische oder chemische Prozesse visuell dargestellt und empirisch verstanden werden können, dann ist das mathematische Abstraktionsniveau sehr hoch, und das Verständnis kommt hier nur mit Erfahrung.
Aber das Spiel ist die Kerze wert, denn die Formeln - sowohl in diesem Artikel betrachtete als auch komplexere - werden heute überall verwendet und können bei der Arbeit durchaus nützlich sein.
Ursprung
Seltsamerweise war der Anstoß für die Entwicklung dieses Bereichs der Mathematik … das Glücksspiel. In der Tat sind Würfeln, Münzwurf, Poker und Roulette typische Beispiele, die Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten verwenden. Am Beispiel von Aufgaben in jedem Lehrbuch ist dies deutlich zu sehen. Die Leute waren daran interessiert zu lernen, wie sie ihre Gewinnchancen erhöhen können, und ich muss sagen, einigen ist dies gelungen.
Zum Beispiel schon im 21. Jahrhundert, eine Person, deren Namen wir nicht preisgeben,nutzte dieses im Laufe der Jahrhunderte angesammelte Wissen, um das Casino buchstäblich zu „reinigen“, und gewann mehrere zehn Millionen Dollar beim Roulette.
Trotz des gestiegenen Interesses an diesem Fach wurde jedoch erst im 20. Jahrhundert ein theoretischer Rahmen entwickelt, der das „Theorver“zu einem vollwertigen Bestandteil der Mathematik machte. Heutzutage findet man in fast jeder Wissenschaft Berechnungen mit probabilistischen Methoden.
Anwendbarkeit
Ein wichtiger Punkt bei der Verwendung von Formeln zur Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten, die bedingte Wahrscheinlichkeit, ist die Erfüllbarkeit des zentralen Grenzwertsatzes. Andernfalls werden alle Berechnungen, so plausibel sie auch erscheinen mögen, falsch sein, obwohl es dem Schüler möglicherweise nicht bewusst ist.
Ja, der hochmotivierte Lernende ist versucht, neues Wissen bei jeder Gelegenheit anzuwenden. Aber in diesem Fall sollte man etwas langsamer fahren und den Geltungsbereich streng umreißen.
Die Wahrscheinlichkeitstheorie befasst sich mit zufälligen Ereignissen, die empirisch gesehen das Ergebnis von Experimenten sind: Wir können einen sechsseitigen Würfel werfen, eine Karte aus einem Stapel ziehen, die Anzahl fehlerhafter Teile in einem Stapel vorhersagen. Bei einigen Fragen ist es jedoch kategorisch unmöglich, Formeln aus diesem Bereich der Mathematik zu verwenden. Wir werden die Merkmale der Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses, die Theoreme der Addition und Multiplikation von Ereignissen am Ende des Artikels diskutieren, aber jetzt wenden wir uns den Beispielen zu.
Grundlegende Konzepte
Ein zufälliges Ereignis bedeutet einen Prozess oder ein Ergebnis, das erscheinen kann oder nichtals Ergebnis des Experiments. Zum Beispiel werfen wir ein Sandwich – es kann Butter nach oben oder Butter nach unten fallen. Jedes der beiden Ergebnisse wird zufällig sein, und wir wissen nicht im Voraus, welches von beiden stattfinden wird.
Beim Studium der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten brauchen wir zwei weitere Konzepte.
Gemeinsame Ereignisse sind solche Ereignisse, deren Eintritt das Eintreten des anderen nicht ausschließt. Nehmen wir an, zwei Personen schießen gleichzeitig auf ein Ziel. Wenn einer von ihnen einen erfolgreichen Schuss abfeuert, hat dies keinen Einfluss auf die Fähigkeit des anderen, zu treffen oder zu verfehlen.
Inkonsequent werden solche Ereignisse sein, deren Eintreten gleichzeitig unmöglich ist. Wenn Sie zum Beispiel nur einen Ball aus der Schachtel ziehen, können Sie nicht gleichzeitig blau und rot bekommen.
Bezeichnung
Der Begriff der Wahrscheinlichkeit wird mit dem lateinischen Großbuchstaben P bezeichnet. In Klammern folgen Argumente, die einige Ereignisse bezeichnen.
In den Formeln des Additionssatzes, der bedingten Wahrscheinlichkeit, des Multiplikationssatzes finden Sie Ausdrücke in Klammern, zum Beispiel: A+B, AB oder A|B. Sie werden auf verschiedene Weise berechnet, wir wenden uns ihnen nun zu.
Zusatz
Betrachten wir Fälle, in denen Additions- und Multiplikationsformeln verwendet werden.
Für inkompatible Ereignisse ist die einfachste Additionsformel relevant: Die Wahrscheinlichkeit eines der zufälligen Ergebnisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes dieser Ergebnisse.
Angenommen, es gibt eine Kiste mit 2 blauen, 3 roten und 5 gelben Luftballons. Insgesamt befinden sich 10 Artikel in der Box. Wie viel Prozent stimmt die Aussage, dass wir einen blauen oder roten Ball zeichnen werden? Es ist gleich 2/10 + 3/10, also fünfzig Prozent.
Bei inkompatiblen Ereignissen wird die Formel komplizierter, da ein zusätzlicher Term hinzugefügt wird. Wir werden in einem Absatz darauf zurückkommen, nachdem wir eine weitere Formel betrachtet haben.
Multiplikation
Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse werden in verschiedenen Fällen verwendet. Wenn wir gemäß den Bedingungen des Experiments mit einem der beiden möglichen Ergebnisse zufrieden sind, berechnen wir die Summe; wenn wir zwei bestimmte Ergebnisse nacheinander erh alten wollen, greifen wir auf eine andere Formel zurück.
Um auf das Beispiel aus dem vorigen Abschnitt zurückzukommen, wollen wir zuerst die blaue Kugel zeichnen und dann die rote. Die erste Zahl, die wir kennen, ist 2/10. Was passiert als nächstes? Es sind noch 9 Kugeln übrig, es gibt noch genauso viele rote - drei Stück. Nach den Berechnungen erh alten Sie 3/9 oder 1/3. Aber was macht man jetzt mit zwei Nummern? Die richtige Antwort ist multiplizieren, um 2/30 zu erh alten.
Gemeinsame Veranst altungen
Jetzt können wir die Summenformel für gemeinsame Ereignisse noch einmal durchgehen. Warum schweifen wir vom Thema ab? Zu lernen, wie Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden. Jetzt wird sich dieses Wissen als nützlich erweisen.
Wir wissen bereits, was die ersten beiden Terme sein werden (die gleichen wie in der zuvor betrachteten Additionsformel), jetzt müssen wir subtrahierendas Produkt von Wahrscheinlichkeiten, die wir gerade zu berechnen gelernt haben. Zur Verdeutlichung schreiben wir die Formel: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Es stellt sich heraus, dass sowohl Addition als auch Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten in einem Ausdruck verwendet werden.
Nehmen wir an, wir müssen eines der beiden Probleme lösen, um einen Kredit zu bekommen. Wir können die erste mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 lösen und die zweite mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6. Lösung: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Beachten Sie, dass das einfache Aufsummieren der Zahlen hier nicht ausreicht.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Schließlich gibt es noch das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit, deren Argumente in Klammern angegeben und durch einen senkrechten Strich getrennt sind. Der Eintrag P(A|B) lautet wie folgt: „Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A bei Ereignis B“.
Schauen wir uns ein Beispiel an: Ein Freund gibt dir ein Gerät, sei es ein Telefon. Es kann kaputt (20%) oder gut (80%) sein. Sie können jedes Gerät, das Ihnen in die Hände fällt, mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 reparieren oder Sie können es nicht (0,6). Ist das Gerät schließlich in Ordnung, erreichen Sie die richtige Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7.
Es ist leicht zu sehen, wie die bedingte Wahrscheinlichkeit in diesem Fall funktioniert: Sie können eine Person nicht erreichen, wenn das Telefon kaputt ist, und wenn es gut ist, müssen Sie es nicht reparieren. Um also Ergebnisse auf der "zweiten Ebene" zu erh alten, müssen Sie wissen, welches Ereignis auf der ersten Ebene ausgeführt wurde.
Berechnungen
Lassen Sie uns Beispiele für die Lösung von Problemen bei der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten betrachten, indem wir die Daten aus dem vorherigen Absatz verwenden.
Lassen Sie uns zuerst die Wahrscheinlichkeit finden, dass Siedas Ihnen überlassene Gerät reparieren. Dazu muss es erstens defekt sein und zweitens müssen Sie die Reparatur bewältigen. Dies ist eine typische Multiplikationsaufgabe: Wir erh alten 0,20,4=0,08.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie sofort die richtige Person erreichen? Einfacher als einfach: 0,80,7=0,56. In diesem Fall haben Sie festgestellt, dass das Telefon funktioniert, und erfolgreich einen Anruf getätigt.
Stellen Sie sich abschließend folgendes Szenario vor: Sie haben ein kaputtes Telefon erh alten, es repariert, dann die Nummer gewählt und die Person am anderen Ende hat den Anruf entgegengenommen. Hier ist bereits die Multiplikation von drei Komponenten erforderlich: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Und was ist, wenn Sie zwei nicht funktionierende Telefone gleichzeitig haben? Wie wahrscheinlich ist es, dass Sie mindestens einen davon reparieren? Dies ist ein Problem der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten, da gemeinsame Ereignisse verwendet werden. Lösung: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Vorsichtiger Gebrauch
Wie am Anfang des Artikels erwähnt, sollte die Verwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie bewusst und bewusst erfolgen.
Je größer die Versuchsreihe, desto näher nähert sich der theoretisch vorhergesagte Wert dem praktischen an. Zum Beispiel werfen wir eine Münze. Wenn wir wissen, dass es Formeln für die Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten gibt, können wir theoretisch vorhersagen, wie oft Kopf und Zahl herausfallen, wenn wir das Experiment 10 Mal durchführen. Wir haben ein Experiment gemacht undZufälligerweise war das Verhältnis der abgeworfenen Seiten 3 zu 7. Aber wenn Sie eine Reihe von 100, 1000 oder mehr Versuchen durchführen, stellt sich heraus, dass der Verteilungsgraph immer näher an den theoretischen herankommt: 44 zu 56, 482 zu 518 und so weiter.
Stellen Sie sich nun vor, dass dieses Experiment nicht mit einer Münze durchgeführt wird, sondern mit der Herstellung einer neuen chemischen Substanz, deren Wahrscheinlichkeit wir nicht kennen. Wir würden 10 Experimente durchführen und wenn wir kein erfolgreiches Ergebnis erh alten, könnten wir verallgemeinern: "Die Substanz kann nicht erh alten werden." Aber wer weiß, ob wir beim elften Versuch das Ziel erreicht hätten oder nicht?
Also, wenn du ins Unbekannte gehst, das unerforschte Reich, trifft die Wahrscheinlichkeitstheorie vielleicht nicht zu. Jeder weitere Versuch kann in diesem Fall erfolgreich sein und Verallgemeinerungen wie „X existiert nicht“oder „X ist unmöglich“sind verfrüht.
Schlusswort
Also haben wir uns zwei Arten von Addition, Multiplikation und bedingte Wahrscheinlichkeiten angesehen. Bei weiterem Studium dieses Bereichs ist es notwendig zu lernen, Situationen zu unterscheiden, in denen jede spezifische Formel verwendet wird. Darüber hinaus müssen Sie verstehen, ob probabilistische Methoden allgemein zur Lösung Ihres Problems anwendbar sind.
Wenn du übst, beginnst du nach einer Weile, alle erforderlichen Operationen ausschließlich in Gedanken auszuführen. Für diejenigen, die Kartenspiele mögen, kann diese Fähigkeit in Betracht gezogen werdenäußerst wertvoll - Sie erhöhen Ihre Gewinnchancen erheblich, indem Sie einfach die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine bestimmte Karte oder Farbe herausfällt. Das erworbene Wissen lässt sich jedoch problemlos in anderen Tätigkeitsbereichen anwenden.
