Bertrands Paradoxon ist ein Problem in der klassischen Interpretation der Wahrscheinlichkeitstheorie. Joseph führte es in seiner Arbeit Calcul des probabilités (1889) als Beispiel dafür ein, dass Wahrscheinlichkeiten nicht gut definiert werden können, wenn ein Mechanismus oder eine Methode eine Zufallsvariable erzeugt.
Problemstellung
Bertrands Paradoxon lautet wie folgt.
Betrachte zuerst ein gleichseitiges Dreieck, das einem Kreis eingeschrieben ist. In diesem Fall wird der Durchmesser zufällig gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es länger ist als die Seite des Dreiecks?
Bertrand hat drei Argumente vorgebracht, die alle richtig zu sein scheinen, aber zu unterschiedlichen Ergebnissen führen.
Zufällige Endpunktmethode
Du musst zwei Stellen auf dem Kreis auswählen und einen Bogen ziehen, der sie verbindet. Für die Berechnung wird Bertrands Wahrscheinlichkeitsparadoxon berücksichtigt. Man muss sich vorstellen, dass das Dreieck so gedreht wird, dass seine Spitze mit einem der Endpunkte der Sehne zusammenfällt. Es lohnt sich zu bezahlenBeachten Sie, dass, wenn sich der andere Teil auf einem Bogen zwischen zwei Orten befindet, der Kreis länger ist als die Seite des Dreiecks. Die Länge des Bogens ist ein Drittel des Kreises, also ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Akkord länger ist, 1/3.
Auswahlmethode
Es ist notwendig, den Radius des Kreises und einen Punkt darauf auszuwählen. Danach müssen Sie durch diese Stelle senkrecht zum Durchmesser eine Sehne bauen. Um das betrachtete Paradoxon von Bertrand der Wahrscheinlichkeitstheorie zu berechnen, muss man sich vorstellen, dass das Dreieck so gedreht wird, dass die Seite senkrecht zum Radius steht. Die Sehne ist länger als das Bein, wenn der ausgewählte Punkt näher am Mittelpunkt des Kreises liegt. Und in diesem Fall halbiert die Seite des Dreiecks den Radius. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Sehne länger ist als die Seite der eingeschriebenen Figur, 1/2.
Zufällige Akkorde
Midpoint-Methode. Es ist notwendig, einen Platz auf dem Kreis zu wählen und einen Akkord mit einer bestimmten Mitte zu erstellen. Die Achse ist länger als die Kante des einbeschriebenen Dreiecks, wenn die ausgewählte Stelle innerhalb eines konzentrischen Kreises mit Radius 1/2 liegt. Die Fläche des kleineren Kreises beträgt ein Viertel der größeren Figur. Daher ist die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Akkords länger als die Seite des einbeschriebenen Dreiecks und gleich 1/4.
Wie oben dargestellt, unterscheiden sich Auswahlmethoden in der Gewichtung, die sie bestimmten Akkorden geben, die Durchmesser sind. Bei Methode 1 kann jede Sehne auf genau eine Weise ausgewählt werden, unabhängig davon, ob es sich um einen Durchmesser handelt oder nicht.
Bei Methode 2 kann jede gerade Linie auf zwei Arten ausgewählt werden. Während jeder andere Akkord ausgewählt wirdnur eine der Möglichkeiten.
Bei Methode 3 hat jede Mittelpunktauswahl einen einzigen Parameter. Bis auf den Mittelpunkt des Kreises, der der Mittelpunkt aller Durchmesser ist. Diese Probleme können vermieden werden, indem alle Fragen "angeordnet" werden, um Parameter auszuschließen, ohne die resultierenden Wahrscheinlichkeiten zu beeinflussen.
Ausgewählte Methoden können auch wie folgt visualisiert werden. Eine Sehne, die kein Durchmesser ist, wird durch ihren Mittelpunkt eindeutig identifiziert. Jede der drei oben vorgestellten Auswahlmethoden erzeugt eine andere Verteilung der Mitte. Und die Optionen 1 und 2 liefern zwei verschiedene ungleichmäßige Partitionen, während Methode 3 eine gleichmäßige Verteilung ergibt.
Das klassische Paradoxon der Lösung von Bertrands Problem hängt von der Methode ab, mit der der Akkord "zufällig" ausgewählt wird. Es stellt sich heraus, dass das Problem eine wohldefinierte Lösung hat, wenn eine Methode der zufälligen Auswahl im Voraus festgelegt wird. Dies liegt daran, dass jede einzelne Methode ihre eigene Akkordverteilung hat. Die drei von Bertrand gezeigten Lineaturen entsprechen unterschiedlichen Selektionsmodi, und mangels weiterer Informationen gibt es keinen Grund, einen dem anderen vorzuziehen. Dementsprechend hat das genannte Problem keine einzige Lösung.
Ein Beispiel dafür, wie man eine allgemeine Antwort eindeutig macht, ist die Angabe, dass die Endpunkte des Akkords gleichmäßig zwischen 0 und c verteilt sind, wobei c der Umfang des Kreises ist. Diese Verteilung ist die gleiche wie in Bertrands erstem Argument und die resultierende eindeutige Wahrscheinlichkeit ist 1/3.
Dieses Bertrand-Russell-Paradoxon und andere Einzigartigkeiten der KlassikInterpretationen der Möglichkeit rechtfertigen strengere Formulierungen. Einschließlich Wahrscheinlichkeitshäufigkeit und subjektivistischer Bayes'scher Theorie.
Was Bertrands Paradoxon zugrunde liegt
In seinem Artikel "The Well-posed Problem" von 1973 bot Edwin Jaynes seine einzigartige Lösung an. Er stellte fest, dass Bertrands Paradoxon auf einer Prämisse basiert, die auf dem Prinzip der "maximalen Ignoranz" basiert. Das bedeutet, dass Sie keine Informationen verwenden sollten, die nicht in der Problembeschreibung enth alten sind. Jaynes wies darauf hin, dass Bertrands Problem nicht die Position oder Größe des Kreises bestimmt. Und argumentierte, dass daher jede definitive und objektive Entscheidung "gleichgültig" gegenüber Größe und Position sein müsse.
Zur Veranschaulichung
Angenommen, alle Akkorde sind zufällig auf einem 2-cm-Kreis platziert, musst du ihn jetzt aus der Ferne mit Strohhalmen bewerfen.
Dann müssen Sie einen weiteren Kreis mit kleinerem Durchmesser (z. B. 1 Zentimeter) nehmen, der in eine größere Figur passt. Dann sollte die Akkordverteilung auf diesem kleineren Kreis dieselbe sein wie auf dem größten. Wenn sich auch die zweite Figur in die erste bewegt, sollte sich die Wahrscheinlichkeit im Prinzip nicht ändern. Es ist sehr leicht zu sehen, dass für Methode 3 die folgende Änderung eintritt: Die Verteilung der Akkorde auf dem kleinen roten Kreis unterscheidet sich qualitativ von der Verteilung auf dem großen Kreis.
Das Gleiche gilt für Methode 1. Obwohl es in der grafischen Ansicht schwieriger zu erkennen ist.
Methode 2 ist die einzigewas sich sowohl als Skalen- als auch als Translationsinvariante herausstellt.
Methode Nummer 3 scheint einfach erweiterbar zu sein.
Methode 1 ist weder noch.
Jane verwendete jedoch nicht einfach Invarianten, um diese Methoden zu akzeptieren oder abzulehnen. Dies würde die Möglichkeit lassen, dass es ein anderes unbeschriebenes Verfahren gibt, das zu seinen Aspekten von vernünftiger Bedeutung passen würde. Jaynes wendete Integralgleichungen an, die Invarianzen beschreiben. Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung direkt zu bestimmen. In seinem Problem haben die Integralgleichungen tatsächlich eine eindeutige Lösung, und genau das wurde oben als zweite Zufallsradiusmethode bezeichnet.
In einer Arbeit aus dem Jahr 2015 argumentiert Alon Drory, dass das Jaynes-Prinzip auch zu zwei anderen Bertrand-Lösungen führen kann. Der Autor versichert, dass die mathematische Implementierung der obigen Invarianzeigenschaften nicht eindeutig ist, sondern von dem grundlegenden Zufallsauswahlverfahren abhängt, für das sich eine Person entscheidet. Er zeigt, dass jede der drei Bertrand-Lösungen unter Verwendung von Rotations-, Skalierungs- und Translationsinvarianz erh alten werden kann. Gleichzeitig kommt man zu dem Schluss, dass das Jaynes-Prinzip genauso interpretierbar ist wie der Modus der Indifferenz selbst.
Physikalische Experimente
Methode 2 ist die einzige Lösung, die die Transformationsinvarianten erfüllt, die in spezifischen physiologischen Konzepten wie der statistischen Mechanik und der Gasstruktur vorhanden sind. Auch in der vorgeschlagenenJanes Experiment, Strohhalme aus einem kleinen Kreis zu werfen.
Es lassen sich aber auch andere praktische Experimente konzipieren, die Antworten nach anderen Methoden liefern. Um beispielsweise zu einer Lösung für die erste zufällige Endpunktmethode zu gelangen, können Sie einen Zähler in der Mitte des Bereichs anbringen. Und lassen Sie die Ergebnisse von zwei unabhängigen Drehungen die letzten Stellen des Akkords hervorheben. Um zur Lösung der dritten Methode zu kommen, kann man den Kreis zB mit Melasse bedecken und den ersten Punkt, auf dem die Fliege landet, als Mittelsehne markieren. Mehrere Betrachter haben Studien erstellt, um unterschiedliche Schlussfolgerungen zu ziehen, und die Ergebnisse empirisch bestätigt.
Neueste Ereignisse
In seinem Artikel „Das Bertrand-Paradoxon und das Gleichgültigkeitsprinzip“aus dem Jahr 2007 argumentiert Nicholas Shackel, dass das Problem mehr als ein Jahrhundert später immer noch ungelöst ist. Sie fährt fort, das Prinzip der Gleichgültigkeit zu widerlegen. Darüber hinaus zeigt Darrell R. Robottom in seinem Artikel „The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical“von 2013, dass alle vorgeschlagenen Urteile nichts mit seiner eigenen Frage zu tun haben. Es stellte sich also heraus, dass das Paradoxon viel schwieriger zu lösen sein würde als bisher angenommen.
Shackel betont, dass bisher viele Wissenschaftler und wissenschaftsferne Menschen versucht haben, Bertrands Paradoxon zu lösen. Es wird immer noch mit Hilfe von zwei verschiedenen Ansätzen überwunden.
Diejenigen, bei denen der Unterschied zwischen nicht äquivalenten Problemen berücksichtigt wurde, und solchen, bei denen das Problem immer als richtig angesehen wurde. Shackel zitiert Louis in seinen BüchernMarinoff (als typischer Exponent der Differenzierungsstrategie) und Edwin Jaynes (als Autor einer wohldurchdachten Theorie).
In ihrer jüngsten Arbeit Solving a Complex Problem glauben Diederik Aerts und Massimiliano Sassoli de Bianchi jedoch, dass zur Lösung des Bertrand-Paradoxons die Prämissen in einer gemischten Strategie gesucht werden müssen. Laut diesen Autoren besteht der erste Schritt darin, das Problem zu beheben, indem die Natur der randomisierten Entität klar angegeben wird. Und erst danach kann jedes Problem als richtig betrachtet werden. Das denkt Janes.
Also kann das Prinzip der maximalen Ignoranz verwendet werden, um es zu lösen. Zu diesem Zweck, und da das Problem nicht vorgibt, wie ein Akkord gewählt werden soll, wird das Prinzip nicht auf der Ebene der verschiedenen Möglichkeiten, sondern auf einer viel tieferen Ebene angewendet.
Auswahl von Teilen
Dieser Teil des Problems erfordert die Berechnung eines Meta-Durchschnitts über alle möglichen Wege, den die Autoren den universellen Mittelwert nennen. Um damit umzugehen, verwenden sie die Diskretisierungsmethode. Inspiriert von dem, was bei der Definition des Wahrscheinlichkeitsgesetzes in Wiener-Prozessen getan wird. Ihr Ergebnis stimmt mit der numerischen Folgerung von Jaynes überein, obwohl sich ihr gut gestelltes Problem von dem des ursprünglichen Autors unterscheidet.
In Wirtschaft und Handel beschreibt das Bertrand-Paradoxon, benannt nach seinem Schöpfer Joseph Bertrand, eine Situation, in der zwei Akteure (Firmen) ein Nash-Gleichgewicht erreichen. Wenn beide Unternehmen einen Preis festlegen, der den Grenzkosten entspricht(MS).
Bertrands Paradoxon basiert auf einer Prämisse. Sie liegt darin begründet, dass in Modellen wie der Cournot-Konkurrenz eine Zunahme der Firmenzahl mit der Konvergenz von Preisen mit Grenzkosten einhergeht. In diesen alternativen Modellen liegt Bertrands Paradoxon in einem Oligopol einer kleinen Anzahl von Unternehmen, die positive Gewinne erzielen, indem sie Preise über den Kosten verlangen.
Zunächst lohnt es sich anzunehmen, dass zwei Firmen A und B ein homogenes Produkt verkaufen, die beide die gleichen Produktions- und Vertriebskosten haben. Daraus folgt, dass Käufer ein Produkt ausschließlich auf der Grundlage des Preises auswählen. Das bedeutet, dass die Nachfrage unendlich preiselastisch ist. Weder A noch B werden einen höheren Preis als die anderen festlegen, weil das dazu führen würde, dass das ganze Bertrand-Paradoxon zusammenbricht. Einer der Marktteilnehmer weicht seinem Konkurrenten aus. Wenn sie denselben Preis festlegen, teilen sich die Unternehmen die Gewinne.
Wenn andererseits ein Unternehmen seinen Preis auch nur geringfügig senkt, erhält es den gesamten Markt und eine deutlich höhere Rendite. Da A und B dies wissen, werden sie versuchen, den Konkurrenten zu unterbieten, bis das Produkt ohne wirtschaftlichen Gewinn verkauft wird.
Jüngste Arbeiten haben gezeigt, dass es in Bertrands gemischtem Strategieparadoxon ein zusätzliches Gleichgewicht mit positiven wirtschaftlichen Gewinnen geben kann, vorausgesetzt, dass die Monopolsumme unendlich ist. Für den Fall des Endgewinns wurde gezeigt, dass ein positiver Anstieg unter Preiswettbewerb in gemischten Gleichgewichten und sogar im allgemeineren Fall unmöglich istkorrelierte Systeme.
Tatsächlich wird Bertrands ökonomisches Paradoxon in der Praxis selten gesehen, da reale Produkte fast immer auf andere Weise als durch den Preis differenziert werden (z. B. durch zu hohe Bezahlung für ein Label). Unternehmen sind in ihrer Fähigkeit zu produzieren und zu vertreiben begrenzt. Aus diesem Grund haben zwei Unternehmen selten die gleichen Kosten.
Bertrands Ergebnis ist paradox, denn wenn die Anzahl der Firmen von eins auf zwei steigt, sinkt der Preis vom Monopol zum Wettbewerb und bleibt auf dem gleichen Niveau wie die Anzahl der Firmen, die danach steigen. Dies ist nicht sehr realistisch, da Märkte mit wenigen Unternehmen mit Marktmacht dazu neigen, Preise über den Grenzkosten zu verlangen. Empirische Analysen zeigen, dass die meisten Branchen mit zwei Konkurrenten positive Gewinne erwirtschaften.
In der modernen Welt versuchen Wissenschaftler, Lösungen für das Paradoxon zu finden, die dem Cournot-Modell des Wettbewerbs besser entsprechen. Wenn zwei Unternehmen in einem Markt positive Gewinne erzielen, die irgendwo zwischen vollkommenem Wettbewerb und Monopolniveau liegen.
Einige Gründe, warum Bertrands Paradoxon nicht direkt mit der Ökonomie zusammenhängt:
- Kapazitätsgrenzen. Manchmal verfügen Unternehmen nicht über ausreichende Kapazitäten, um die gesamte Nachfrage zu decken. Dieser Punkt wurde erstmals von Francis Edgeworth angesprochen und führte zum Bertrand-Edgeworth-Modell.
- Ganzzahlige Preise. Preise über dem MC sind ausgeschlossen, da ein Unternehmen ein anderes willkürlich unterbieten kann.eine kleine Summe. Wenn die Preise diskret sind (z. B. müssen sie ganzzahlige Werte annehmen), muss ein Unternehmen das andere um mindestens einen Rubel unterbieten. Dies impliziert, dass der Wert der Kleingeldwährung über dem MC liegt. Wenn eine andere Firma den Preis dafür höher setzt, kann eine andere Firma ihn senken und den gesamten Markt erobern, genau darin besteht Bertrands Paradoxon. Es wird ihr keinen Gewinn bringen. Dieses Unternehmen wird es vorziehen, den Umsatz 50/50 mit einer anderen Firma zu teilen und einen rein positiven Umsatz zu erzielen.
- Produktdifferenzierung. Wenn sich die Produkte verschiedener Firmen voneinander unterscheiden, wechseln die Verbraucher möglicherweise nicht vollständig zu Produkten mit einem niedrigeren Preis.
- Dynamischer Wettbewerb. Wiederholte Interaktion oder wiederholter Preiswettbewerb können zu einem Wertegleichgewicht führen.
- Mehr Artikel für einen höheren Betrag. Dies folgt aus wiederholter Interaktion. Wenn ein Unternehmen seinen Preis etwas höher ansetzt, erhält es immer noch ungefähr die gleiche Anzahl von Käufen, aber mehr Gewinn pro Artikel. Daher wird das andere Unternehmen seinen Aufschlag erhöhen usw. (Nur in Wiederholungen, sonst geht die Dynamik in die andere Richtung).
Oligopol
Wenn sich zwei Unternehmen auf einen Preis einigen können, liegt es in ihrem langfristigen Interesse, die Vereinbarung einzuh alten: Der Wertminderungserlös beträgt weniger als das Doppelte des Erlöses aus der Einh altung der Vereinbarung und dauert nur so lange, bis das andere Unternehmen seinen Preis kürzt eigene Preise.
TheorieWahrscheinlichkeiten (wie der Rest der Mathematik) sind eigentlich eine neue Erfindung. Und die Entwicklung verlief nicht reibungslos. Die ersten Versuche, die Wahrscheinlichkeitsrechnung zu formalisieren, wurden von Marquis de Laplace unternommen, der vorschlug, das Konzept als das Verhältnis der Anzahl von Ereignissen zu definieren, die zu einem Ergebnis führen.
Das macht natürlich nur Sinn, wenn die Anzahl aller möglichen Ereignisse endlich ist. Außerdem sind alle Ereignisse gleich wahrscheinlich.
Daher schienen diese Konzepte damals keine solide Grundlage zu haben. Versuche, die Definition auf den Fall unendlich vieler Ereignisse auszudehnen, haben zu noch größeren Schwierigkeiten geführt. Bertrands Paradoxon ist eine solche Entdeckung, die Mathematiker gegenüber dem gesamten Konzept der Wahrscheinlichkeit misstrauisch gemacht hat.
