Die Entstehung des Konzepts des Integrals war auf die Notwendigkeit zurückzuführen, die Stammfunktion durch ihre Ableitung zu finden sowie den Arbeitsaufwand, den Bereich komplexer Figuren und die zurückgelegte Strecke zu bestimmen Parameter, die durch Kurven dargestellt werden, die durch nichtlineare Formeln beschrieben werden.
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und die Physik weiß, dass Arbeit gleich dem Produkt aus Kraft und Weg ist. Wenn alle Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit erfolgen oder die Entfernung mit der gleichen Kraft überwunden wird, ist alles klar, Sie müssen sie nur multiplizieren. Was ist ein Integral einer Konstante? Dies ist eine lineare Funktion der Form y=kx+c.
Aber die Kraft während der Arbeit kann sich ändern, und zwar in einer Art natürlicher Abhängigkeit. Die gleiche Situation tritt bei der Berechnung der zurückgelegten Wegstrecke auf, wenn die Geschwindigkeit nicht konstant ist.
Damit ist klar, wozu das Integral dient. Seine Definition als die Summe der Produkte von Funktionswerten durch ein infinitesimales Inkrement des Arguments beschreibt die Hauptbedeutung dieses Konzepts vollständig als die Fläche einer Figur, die von oben durch die Funktionslinie begrenzt wird, und bei die Kanten durch die Grenzen der Definition.
Jean Gaston Darboux, französischer Mathematiker, in der zweiten Hälfte des XIXJahrhundert sehr klar erklärt, was ein Integral ist. Er machte es so deutlich, dass es im Allgemeinen selbst für einen Mittelschüler nicht schwierig sein würde, dieses Problem zu verstehen.
Nehmen wir an, es gibt eine Funktion irgendeiner komplexen Form. Die y-Achse, auf der die Werte des Arguments aufgetragen sind, ist in kleine Intervalle unterteilt, idealerweise sind sie unendlich klein, aber da der Begriff der Unendlichkeit eher abstrakt ist, reicht es, sich nur kleine Segmente vorzustellen, den Wert wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben Δ (Delta) bezeichnet.
Es stellte sich heraus, dass die Funktion in kleine Bausteine "geschnitten" wurde.
Jeder Argumentwert entspricht einem Punkt auf der y-Achse, auf dem die entsprechenden Funktionswerte aufgetragen sind. Da der ausgewählte Bereich jedoch zwei Grenzen hat, gibt es auch zwei Werte der Funktion, mehr und weniger.
Die Summe der Produkte größerer Werte um das Inkrement Δ nennt man die große Darboux-Summe und wird mit S bezeichnet. Dementsprechend werden die kleineren Werte in einem begrenzten Bereich, multipliziert mit Δ, alle zusammen bilden eine kleine Darboux-Summe s. Der Schnitt selbst ähnelt einem rechteckigen Trapez, da die Krümmung der Funktionslinie mit ihrer infinitesimalen Schrittweite vernachlässigt werden kann. Den Flächeninh alt einer solchen geometrischen Figur findet man am einfachsten, indem man die Produkte aus dem größeren und kleineren Wert der Funktion um das Δ-Inkrement addiert und durch zwei dividiert, also als arithmetisches Mittel bestimmt.
Das ist das Darboux-Integral:
s=Σf(x) Δ ist ein kleiner Betrag;
S=Σf(x+Δ)Δ ist eine große Summe.
Also, was ist ein Integral? Der durch die Funktionslinie und die Definitionsgrenzen begrenzte Bereich ist:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Das heißt, das arithmetische Mittel großer und kleiner Darboux-Summen.c ist ein konstanter Wert, der beim Differenzieren auf Null gesetzt wird.
Anhand des geometrischen Ausdrucks dieses Konzepts wird die physikalische Bedeutung des Integrals deutlich. Der Bereich der Figur, umrissen durch die Geschwindigkeitsfunktion und begrenzt durch das Zeitintervall entlang der Abszissenachse, ist die Länge des zurückgelegten Weges.
L=∫f(x)dx auf dem Intervall von t1 bis t2, Wo
f(x) – Geschwindigkeitsfunktion, also die Formel, nach der sie sich mit der Zeit ändert;
L – Pfadlänge;
t1 – Startzeit;
t2 – Endzeit der Fahrt.
Genau nach dem gleichen Prinzip wird der Arbeitsaufwand bestimmt, nur der Weg wird auf der Abszisse aufgetragen, und die an jedem einzelnen Punkt aufgebrachte Kraft wird auf der Ordinate aufgetragen.
