Die axiomatische Methode ist eine Möglichkeit, bereits etablierte wissenschaftliche Theorien zu konstruieren. Sie basiert auf Argumenten, Tatsachen, Aussagen, die keiner Beweise oder Widerlegung bedürfen. Tatsächlich wird diese Version des Wissens in Form einer deduktiven Struktur präsentiert, die zunächst eine logische Begründung des Inh alts aus den Grundlagen - Axiomen - enthält.
Diese Methode kann keine Entdeckung sein, sondern ist nur ein klassifizierendes Konzept. Eher für den Unterricht geeignet. Die Basis enthält die Anfangsbestimmungen, die restlichen Informationen folgen als logische Konsequenz. Wo ist die axiomatische Methode der Theoriebildung? Sie bildet den Kern der meisten modernen und etablierten Wissenschaften.
Bildung und Entwicklung des Konzepts der axiomatischen Methode, Definition des Wortes
Zunächst entstand dieses Konzept im antiken Griechenland dank Euklid. Er wurde der Begründer der axiomatischen Methode in der Geometrie. Heute ist es in allen Wissenschaften üblich, vor allem aber in der Mathematik. Diese Methode wird auf der Grundlage etablierter Aussagen gebildet, und nachfolgende Theorien werden durch logische Konstruktion abgeleitet.
Dies wird wie folgt erklärt: Es gibt Wörter und Konzepte, diedurch andere Begriffe definiert. Als Ergebnis kamen die Forscher zu dem Schluss, dass es elementare Schlussfolgerungen gibt, die gerechtfertigt und konstant sind - grundlegende, dh Axiome. Zum Beispiel stützen sie sich beim Beweis eines Theorems normalerweise auf Tatsachen, die bereits gut etabliert sind und keiner Widerlegung bedürfen.
Zuvor mussten sie jedoch noch belegt werden. Dabei stellt sich heraus, dass eine unbegründete Aussage als Axiom angenommen wird. Basierend auf einer Menge konstanter Konzepte werden andere Theoreme bewiesen. Sie bilden die Grundlage der Planimetrie und sind die logische Struktur der Geometrie. Die etablierten Axiome in dieser Wissenschaft werden als Objekte jeglicher Art definiert. Sie wiederum haben Eigenschaften, die in konstanten Begriffen spezifiziert sind.
Weitere Erforschung der Axiome
Die Methode g alt bis ins 19. Jahrhundert als ideal. Die logischen Mittel zur Suche nach Grundbegriffen wurden damals nicht untersucht, aber im Euklid-System kann man die Struktur beobachten, sinnvolle Konsequenzen aus der axiomatischen Methode zu ziehen. Die Forschung des Wissenschaftlers zeigte die Idee, wie man ein vollständiges System geometrischen Wissens auf der Grundlage eines rein deduktiven Pfades erhält. Ihnen wurde eine relativ kleine Anzahl behaupteter Axiome angeboten, die nachweislich wahr sind.
Verdienst des antiken griechischen Geistes
Euklid bewies viele Konzepte, und einige davon waren gerechtfertigt. Die Mehrheit schreibt diese Verdienste jedoch Pythagoras, Demokrit und Hippokrates zu. Letzterer stellte einen vollständigen Kurs der Geometrie zusammen. Es stimmt, später in Alexandria kam herausSammlung "Anfang", deren Autor Euklid war. Dann wurde es in "Elementary Geometry" umbenannt. Nach einer Weile begannen sie ihn aus verschiedenen Gründen zu kritisieren:
- alle Werte wurden nur mit Lineal und Zirkel gebaut;
- Geometrie und Arithmetik wurden getrennt und mit gültigen Zahlen und Begriffen bewiesen;
- Axiome, einige von ihnen, insbesondere das fünfte Postulat, wurden vorgeschlagen, von der allgemeinen Liste zu streichen.
Infolgedessen taucht im 19. Jahrhundert eine nicht-euklidische Geometrie auf, in der es kein objektiv wahres Postulat gibt. Diese Aktion gab Impulse für die Weiterentwicklung des geometrischen Systems. So kamen mathematische Forscher zu deduktiven Konstruktionsmethoden.
Entwicklung mathematischen Wissens auf der Grundlage von Axiomen
Als sich ein neues Geometriesystem zu entwickeln begann, änderte sich auch die axiomatische Methode. In der Mathematik wandte man sich immer häufiger einer rein deduktiven Theoriebildung zu. Infolgedessen ist in der modernen numerischen Logik, die das Hauptgebiet aller Wissenschaften ist, ein ganzes Beweissystem entstanden. In der mathematischen Struktur begann man die Notwendigkeit der Rechtfertigung zu verstehen.
So bildeten sich bis zum Ende des Jahrhunderts klare Aufgaben und die Konstruktion komplexer Konzepte, die von einem komplexen Theorem auf die einfachste logische Aussage reduziert wurden. Somit hat die nichteuklidische Geometrie eine solide Grundlage für die weitere Existenz der axiomatischen Methode sowie für die Lösung von Problemen allgemeiner Art geschaffen.mathematische Konstruktionen:
- Konsistenz;
- Fülle;
- Unabhängigkeit.
Dabei ist eine Deutungsmethode entstanden und erfolgreich entwickelt worden. Dieses Verfahren wird wie folgt beschrieben: Für jeden Ausgabebegriff in der Theorie wird ein mathematisches Objekt festgelegt, dessen Gesamtheit als Feld bezeichnet wird. Die Aussage über die angegebenen Elemente kann falsch oder wahr sein. Als Ergebnis werden Aussagen in Abhängigkeit von den Schlussfolgerungen benannt.
Merkmale der Interpretationstheorie
Der Körper und die Eigenschaften werden in der Regel auch im mathematischen System betrachtet, und es kann wiederum selbstverständlich werden. Die Interpretation beweist Aussagen, in denen relative Konsistenz besteht. Eine zusätzliche Option sind eine Reihe von Fakten, bei denen die Theorie widersprüchlich wird.
Tatsächlich ist die Bedingung in manchen Fällen erfüllt. Als Ergebnis stellt sich heraus, dass, wenn in den Aussagen einer der Aussagen zwei falsche oder wahre Konzepte enth alten sind, diese als negativ oder positiv angesehen werden. Diese Methode wurde verwendet, um die Konsistenz von Euklids Geometrie zu beweisen. Mit der interpretativen Methode kann man die Frage nach der Unabhängigkeit von Axiomensystemen lösen. Wenn Sie eine Theorie widerlegen müssen, reicht es aus zu beweisen, dass eines der Konzepte nicht aus dem anderen abgeleitet wurde und falsch ist.
Neben gelungenen Aussagen hat die Methode aber auch Schwächen. Konsistenz und Unabhängigkeit von Axiomensystemen werden als Fragen gelöst, die zu relativen Ergebnissen führen. Die einzige wichtige Leistung der Interpretation istEntdeckung der Rolle der Arithmetik als Struktur, in der die Konsistenzfrage auf eine Reihe anderer Wissenschaften reduziert wird.
Moderne Entwicklung der axiomatischen Mathematik
Die axiomatische Methode begann sich in der Arbeit von Gilbert zu entwickeln. In seiner Schule wurde das eigentliche Konzept von Theorie und formalem System geklärt. Als Ergebnis entstand ein allgemeines System, und mathematische Objekte wurden präzise. Darüber hinaus wurde es möglich, die Fragen der Rechtfertigung zu lösen. Ein formales System wird also durch eine exakte Klasse konstruiert, die Teilsysteme von Formeln und Theoremen enthält.
Um diese Struktur aufzubauen, müssen Sie sich nur von technischer Bequemlichkeit leiten lassen, da sie keine semantische Last haben. Sie können mit Zeichen, Symbolen beschriftet werden. Das heißt, das System selbst ist so aufgebaut, dass die formale Theorie angemessen und vollständig angewendet werden kann.
Als Ergebnis wird ein bestimmtes mathematisches Ziel oder eine Aufgabe in eine Theorie gegossen, die auf Tatsacheninh alten oder deduktiven Argumenten basiert. Die Sprache der Numerik wird in ein formales System überführt, dabei wird jeder konkrete und sinnvolle Ausdruck durch die Formel bestimmt.
Formalisierungsmethode
In der Natur ist eine solche Methode in der Lage, globale Probleme wie Konsistenz zu lösen und eine positive Essenz mathematischer Theorien gemäß den abgeleiteten Formeln aufzubauen. Und im Grunde wird dies alles durch ein formales System gelöst, das auf bewährten Aussagen basiert. Mathematische Theorien wurden ständig durch Rechtfertigungen kompliziert, undGilbert schlug vor, diese Struktur mit endlichen Methoden zu untersuchen. Aber dieses Programm ist gescheitert. Gödels Ergebnisse führten bereits im 20. Jahrhundert zu folgenden Schlussfolgerungen:
- natürliche Konsistenz ist unmöglich aufgrund der Tatsache, dass formalisierte Arithmetik oder andere ähnliche Wissenschaften aus diesem System unvollständig sein werden;
- unlösbare Formeln erschienen;
- Behauptungen sind nicht beweisbar.
Wahre Urteile und vernünftige endliche Vollendung gelten als formalisierbar. Vor diesem Hintergrund hat die axiomatische Methode innerhalb dieser Theorie gewisse und klare Grenzen und Möglichkeiten.
Ergebnisse der Entwicklung von Axiomen in den Werken der Mathematiker
Trotz der Tatsache, dass einige Urteile widerlegt und nicht richtig entwickelt wurden, spielt die Methode der konstanten Begriffe eine bedeutende Rolle bei der Gest altung der Grundlagen der Mathematik. Darüber hinaus haben die Interpretation und die axiomatische Methode in der Wissenschaft die grundlegenden Ergebnisse der Konsistenz, der Unabhängigkeit von Wahlaussagen und Hypothesen in der multiplen Theorie offenbart.
Bei der Auseinandersetzung mit dem Thema Konsistenz kommt es vor allem darauf an, nicht nur etablierte Konzepte anzuwenden. Sie müssen auch mit Ideen, Konzepten und Mitteln der endlichen Veredelung ergänzt werden. Dabei kommen verschiedene Ansichten, Methoden, Theorien in Betracht, die die logische Bedeutung und Begründung berücksichtigen sollten.
Die Konsistenz des formalen Systems weist auf eine ähnliche Verarbeitung der Arithmetik hin, die auf Induktion, Zählen, transfiniten Zahlen beruht. Im wissenschaftlichen Bereich ist die Axiomatisierung am wichtigstenein Werkzeug, dem unwiderlegbare Konzepte und Aussagen zugrunde gelegt werden.
Das Wesen anfänglicher Aussagen und ihre Rolle in Theorien
Evaluierung einer axiomatischen Methode weist darauf hin, dass eine gewisse Struktur in ihrem Wesen liegt. Dieses System basiert auf der Identifizierung des zugrunde liegenden Konzepts und grundlegender Aussagen, die nicht definiert sind. Dasselbe passiert mit Sätzen, die als originell gelten und ohne Beweis akzeptiert werden. In den Naturwissenschaften werden solche Aussagen durch Regeln, Annahmen, Gesetze gestützt.
Dann findet der Prozess der Fixierung der etablierten Argumentationsgrundlagen statt. In der Regel wird sofort darauf hingewiesen, dass aus einer Position eine andere abgeleitet wird, und dabei kommen die übrigen heraus, die im Wesentlichen mit der deduktiven Methode übereinstimmen.
Eigenschaften des Systems in der heutigen Zeit
Das axiomatische System beinh altet:
- logische Schlussfolgerungen;
- Begriffe und Definitionen;
- teilweise falsche Aussagen und Konzepte.
In der modernen Wissenschaft hat diese Methode ihre Abstraktheit verloren. Die euklidische geometrische Axiomatisierung basierte auf intuitiven und wahren Aussagen. Und die Theorie wurde auf einzigartige, natürliche Weise interpretiert. Heute ist ein Axiom eine Bestimmung, die an sich selbstverständlich ist, und eine Vereinbarung, und jede Vereinbarung, kann als ein anfängliches Konzept fungieren, das keiner Begründung bedarf. Infolgedessen können die ursprünglichen Werte alles andere als aussagekräftig sein. Diese Methode erfordert Kreativität, Kenntnis der Zusammenhänge und der zugrundeliegenden Theorie.
Grundprinzipien der Ableitung von Schlussfolgerungen
Deduktiv axiomatische Methode ist eine nach einem bestimmten Schema aufgebaute wissenschaftliche Erkenntnis, die auf richtig realisierten Hypothesen beruht und Aussagen über empirische Tatsachen herleitet. Eine solche Schlussfolgerung wird auf der Grundlage logischer Strukturen durch harte Ableitung aufgebaut. Axiome sind zunächst unwiderlegbare Aussagen, die keiner Beweise bedürfen.
Während der Deduktion werden bestimmte Anforderungen an die Ausgangskonzepte gestellt: Konsistenz, Vollständigkeit, Unabhängigkeit. Wie die Praxis zeigt, basiert die erste Bedingung auf formalem logischem Wissen. Das heißt, die Theorie sollte nicht die Bedeutungen von Wahrheit und Falschheit haben, weil sie dann keine Bedeutung und keinen Wert mehr haben wird.
Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, dann gilt sie als inkompatibel und verliert jegliche Bedeutung, weil die semantische Ladung zwischen Wahrheit und Falschheit verloren geht. Deduktiv gesehen ist die axiomatische Methode eine Möglichkeit, wissenschaftliche Erkenntnisse zu konstruieren und zu begründen.
Praktische Anwendung der Methode
Die axiomatische Methode zur Konstruktion wissenschaftlicher Erkenntnisse hat eine praktische Anwendung. Tatsächlich beeinflusst und hat dieser Weg eine globale Bedeutung für die Mathematik, obwohl dieses Wissen bereits seinen Höhepunkt erreicht hat. Beispiele für die axiomatische Methode sind wie folgt:
- affine Ebenen haben drei Aussagen und eine Definition;
- Äquivalenztheorie hat drei Beweise;
- binäre Beziehungen sind in ein System von Definitionen, Konzepten und zusätzlichen Übungen unterteilt.
Wenn du die ursprüngliche Bedeutung formulieren willst, musst du die Natur von Mengen und Elementen kennen. Im Wesentlichen bildete die axiomatische Methode die Grundlage verschiedener Wissenschaftsbereiche.
