Bei der Lösung physikalischer Aufgaben zur Bewegung von Objekten erweist es sich oft als sinnvoll, den Impulserh altungssatz anzuwenden. Was der Impuls für die lineare und kreisförmige Bewegung des Körpers ist und was das Wesen des Erh altungsgesetzes dieses Wertes ist, wird in dem Artikel diskutiert.
Das Konzept des linearen Impulses
Historische Daten zeigen, dass dieser Wert zum ersten Mal in seinen wissenschaftlichen Arbeiten von Galileo Galilei zu Beginn des 17. Jahrhunderts berücksichtigt wurde. Anschließend gelang es Isaac Newton, das Konzept des Impulses (ein korrekterer Name für Impuls) harmonisch in die klassische Theorie der Bewegung von Objekten im Raum zu integrieren.
Bezeichne den Impuls als p¯, dann wird die Formel für seine Berechnung geschrieben als:
p¯=mv¯.
Hierbei ist m die Masse, v¯ die Geschwindigkeit (Vektorwert) der Bewegung. Diese Gleichheit zeigt, dass der Betrag der Bewegung die Geschwindigkeitscharakteristik eines Objekts ist, wobei die Masse die Rolle eines Multiplikationsfaktors spielt. Anzahl der Bewegungenist eine Vektorgröße, die in die gleiche Richtung wie die Geschwindigkeit zeigt.
Intuitiv ist es umso schwieriger, ihn zu stoppen, je größer die Bewegungsgeschwindigkeit und die Masse des Körpers ist, d. h. desto größer ist die kinetische Energie, die er hat.
Die Bewegungsmenge und ihre Veränderung
Sie können sich vorstellen, dass Sie etwas Kraft aufwenden müssen, um den p¯-Wert des Körpers zu ändern. Die Kraft F¯ wirke während des Zeitintervalls Δt, dann erlaubt uns das Newtonsche Gesetz, die Gleichheit zu schreiben:
F¯Δt=ma¯Δt; also F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.
Der Wert gleich dem Produkt aus dem Zeitintervall Δt und der Kraft F¯ heißt Impuls dieser Kraft. Da es sich herausstellt, dass es gleich der Änderung des Impulses ist, wird letzteres oft einfach als Impuls bezeichnet, was darauf hindeutet, dass es von einer externen Kraft F¯ erzeugt wurde.
Der Grund für die Impulsänderung ist also der Impuls der äußeren Kraft. Der Wert von Δp¯ kann sowohl zu einer Erhöhung des Wertes von p¯ führen, wenn der Winkel zwischen F¯ und p¯ spitz ist, als auch zu einer Verringerung des Moduls von p¯, wenn dieser Winkel stumpf ist. Die einfachsten Fälle sind die Beschleunigung des Körpers (der Winkel zwischen F¯ und p¯ ist Null) und seine Verzögerung (der Winkel zwischen den Vektoren F¯ und p¯ ist 180o).
Bei Impulserh altung: Gesetz
Wenn das Körpersystem es nicht istwirken äußere Kräfte, und alle Prozesse darin sind nur durch die mechanische Wechselwirkung seiner Komponenten begrenzt, dann bleibt jede Komponente des Impulses beliebig lange unverändert. Dies ist das Gesetz der Impulserh altung von Körpern, das mathematisch wie folgt geschrieben wird:
p¯=∑ipi¯=const oder
∑ipix=const; ∑ipiy=const; ∑ipiz=const.
Der Index i ist eine ganze Zahl, die das Objekt des Systems aufzählt, und die Indizes x, y, z beschreiben die Impulskomponenten für jede der Koordinatenachsen im kartesischen Rechtecksystem.
In der Praxis ist es oft notwendig, eindimensionale Probleme beim Aufprall von Körpern zu lösen, wenn die Anfangsbedingungen bekannt sind, und es ist notwendig, den Zustand des Systems nach dem Aufprall zu bestimmen. In diesem Fall bleibt der Impuls immer erh alten, was von der kinetischen Energie nicht gesagt werden kann. Letztere vor und nach dem Stoß bleiben nur in einem einzigen Fall unverändert: bei absolut elastischer Wechselwirkung. Für diesen Fall der Kollision zweier Körper, die sich mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 bewegen, hat die Impulserh altungsformel die Form:
m1 v1 + m2 v 2=m1 u1 + m2 u 2.
Hierbei charakterisieren die Geschwindigkeiten u1 und u2 die Bewegung von Körpern nach dem Aufprall. Beachten Sie, dass bei dieser Form des Erh altungssatzes das Vorzeichen der Geschwindigkeiten berücksichtigt werden muss: Wenn sie aufeinander gerichtet sind, sollte eins genommen werdenpositiv und das andere negativ.
Für einen vollkommen inelastischen Stoß (zwei Körper haften nach dem Stoß aneinander) hat das Impulserh altungsgesetz die Form:
m1 v1 + m2 v 2=(m1+ m2)u.
Lösung der Aufgabe zum Erh altungssatz von p¯
Lösen wir folgende Aufgabe: Zwei Kugeln rollen aufeinander zu. Die Massen der Kugeln sind gleich und ihre Geschwindigkeiten betragen 5 m/s und 3 m/s. Unter der Annahme, dass es sich um einen absolut elastischen Stoß handelt, müssen die Geschwindigkeiten der Kugeln danach ermittelt werden.
Unter Verwendung des Impulserh altungssatzes für den eindimensionalen Fall und unter Berücksichtigung, dass die kinetische Energie nach dem Stoß erh alten bleibt, schreiben wir:
v1 - v2=u1 + u 2;
v12 + v22=u12 + u22.
Hier haben wir die Massen der Kugeln aufgrund ihrer Gleichheit gleich reduziert und auch berücksichtigt, dass sich die Körper aufeinander zu bewegen.
Es ist einfacher, das System weiter zu lösen, wenn Sie bekannte Daten ersetzen. Wir erh alten:
5 - 3 - u2=u1;
52+ 32=u12+ u22.
Durch Einsetzen von u1 in die zweite Gleichung erh alten wir:
2 - u2=u1;
34=(2 - u2)2+u2 2=4 - 4u2 + 2u22; somit,u22- 2u2 - 15=0.
Wir haben die klassische quadratische Gleichung. Wir lösen es durch die Diskriminante, wir erh alten:
D=4 - 4(-15)=64.
u2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/z.
Wir haben zwei Lösungen. Setzen wir sie in den ersten Ausdruck ein und definieren u1, so erh alten wir folgenden Wert: u1=-3 m/s, u 2=5 m/s; u1=5 m/s, u2=-3 m/s. Das zweite Zahlenpaar ist in der Problemstellung angegeben, entspricht also nicht der realen Geschwindigkeitsverteilung nach dem Aufprall.
Also bleibt nur eine Lösung übrig: u1=-3 m/s, u2=5 m/s. Dieses merkwürdige Ergebnis bedeutet, dass bei einem zentralen elastischen Stoß zwei Kugeln gleicher Masse einfach ihre Geschwindigkeiten austauschen.
Moment der Dynamik
Alles oben Gesagte bezieht sich auf die lineare Art der Bewegung. Es zeigt sich aber, dass ähnliche Mengen auch bei kreisförmiger Verschiebung von Körpern um eine bestimmte Achse eingebracht werden können. Der Drehimpuls, auch Drehimpuls genannt, errechnet sich aus dem Produkt des Vektors, der den materiellen Punkt mit der Drehachse verbindet, und dem Impuls dieses Punktes. Das heißt, die Formel findet statt:
L¯=r¯p¯, wobei p¯=mv¯.
Impuls ist wie p¯ ein Vektor, der senkrecht zur Ebene gerichtet ist, die auf den Vektoren r¯ und p¯ aufgebaut ist.
Der Wert von L¯ ist ein wichtiges Merkmal eines rotierenden Systems, da er die darin gespeicherte Energie bestimmt.
Impulsmoment und Erh altungssatz
Der Drehimpuls bleibt erh alten, wenn keine äußeren Kräfte auf das System einwirken (normalerweise sagt man, dass es kein Kraftmoment gibt). Der Ausdruck im vorigen Absatz kann durch einfache Transformationen in einer für die Übung bequemeren Form geschrieben werden:
L¯=Iω¯, wobei I=mr2 das Trägheitsmoment des materiellen Punktes ist, ω¯ die Winkelgeschwindigkeit.
Das im Ausdruck vorkommende Trägheitsmoment I hat für die Rotation genau dieselbe Bedeutung wie die gewöhnliche Masse für die lineare Bewegung.
Wenn es zu einer internen Umordnung des Systems kommt, bei der sich I ändert, dann bleibt auch ω¯ nicht konstant. Außerdem erfolgt die Änderung der beiden physikalischen Größen so, dass folgende Gleichheit gilt:
I1 ω1¯=I2 ω 2¯.
Dies ist das Gesetz zur Erh altung des Drehimpulses L¯. Seine Manifestation wurde von jeder Person beobachtet, die mindestens einmal Ballett oder Eiskunstlauf besuchte, wo Sportler Pirouetten mit Rotation ausführen.
