So ein erstaunlicher und vertrauter Platz. Es ist symmetrisch um seine Mitte und Achsen, die entlang der Diagonalen und durch die Mitten der Seiten gezogen sind. Und nach der Fläche eines Quadrats oder seinem Volumen zu suchen, ist überhaupt nicht schwierig. Vor allem, wenn die Seitenlänge bekannt ist.
Ein paar Worte zur Figur und ihren Eigenschaften
Die ersten beiden Eigenschaften beziehen sich auf die Definition. Alle Seiten der Figur sind einander gleich. Schließlich ist ein Quadrat ein regelmäßiges Viereck. Außerdem müssen alle Seiten gleich sein und die Winkel den gleichen Wert haben, nämlich 90 Grad. Dies ist die zweite Eigenschaft.
Die dritte bezieht sich auf die Länge der Diagonalen. Sie erweisen sich auch als gleichberechtigt. Außerdem schneiden sie sich im rechten Winkel und in den Mittelpunkten.
Formel nur mit Seitenlänge
Zuerst zur Notation. Für die Seitenlänge ist es üblich, den Buchstaben "a" zu wählen. Dann wird die quadratische Fläche nach folgender Formel berechnet: S=a2.
Er erhält man leicht aus dem, der für das Rechteck bekannt ist. Darin werden Länge und Breite multipliziert. Bei einem Quadrat sind diese beiden Elemente gleich. Daher in der Formeldas Quadrat dieses einen Wertes erscheint.
Formel, in der die Länge der Diagonale vorkommt
Es ist die Hypotenuse in einem Dreieck, dessen Beine die Seiten der Figur sind. Daher können Sie die Formel des Satzes des Pythagoras verwenden und eine Gleichheit herleiten, bei der die Seite durch die Diagonale ausgedrückt wird.
Nach solch einfachen Transformationen erh alten wir, dass die quadratische Fläche durch die Diagonale nach folgender Formel berechnet wird:
S=d2 / 2. Hier bezeichnet der Buchstabe d die Diagonale des Quadrats.
Umfangsformel
In einer solchen Situation ist es notwendig, die Seite durch den Umfang auszudrücken und sie in die Flächenformel einzusetzen. Da die Figur vier identische Seiten hat, muss der Umfang durch 4 geteilt werden. Dies ist der Wert der Seite, der dann in den ursprünglichen ersetzt und die Fläche des Quadrats berechnet werden kann.
Die allgemeine Formel sieht so aus: S=(Ð/4)2.
Rechenaufgaben
1. Da ist ein Quadrat. Die Summe seiner beiden Seiten beträgt 12 cm. Berechnen Sie die Fläche des Quadrats und seinen Umfang.
Entscheidung. Da die Summe zweier Seiten gegeben ist, müssen wir die Länge von einer finden. Da sie gleich sind, muss die bekannte Zahl nur durch zwei geteilt werden. Das heißt, die Seitenlänge dieser Figur beträgt 6 cm.
Dann lassen sich Umfang und Fläche ganz einfach mit den obigen Formeln berechnen. Die erste ist 24 cm und die zweite 36 cm2.
Antwort. Der Umfang eines Quadrats beträgt 24 cm und seine Fläche 36 cm2.
2. Berechne die Fläche eines Quadrats mit einem Umfang von 32 mm.
Entscheidung. Es reicht aus, nur den Wert des Umfangs in der oben geschriebenen Formel zu ersetzen. Obwohl Sie zuerst die Seite des Quadrats herausfinden können und erst dann seine Fläche.
In beiden Fällen beinh alten die Aktionen zuerst die Division und dann die Potenzierung. Einfache Berechnungen führen dazu, dass die Fläche des dargestellten Quadrats 64 mm beträgt2.
Antwort. Der gewünschte Bereich ist 64 mm2.
3. Die Seitenlänge des Quadrats beträgt 4 dm. Rechteckgrößen: 2 und 6 dm. Welche der beiden Figuren hat die größere Fläche? Wie viel?
Entscheidung. Sei die Seite des Quadrats mit dem Buchstaben a1 gekennzeichnet, dann sind Länge und Breite des Rechtecks a2 und 2 . Um die Fläche eines Quadrats zu bestimmen, soll der Wert von a1 quadriert und der Wert eines Rechtecks mit a2 multipliziert werdenund 2 . Ganz einfach.
Es stellt sich heraus, dass die Fläche eines Quadrats 16 dm2 und eines Rechtecks 12 dm2 beträgt. Offensichtlich ist die erste Figur größer als die zweite. Dies trotz der Tatsache, dass sie gleich sind, das heißt, sie haben den gleichen Umfang. Zur Kontrolle können Sie die Umfänge zählen. Beim Quadrat muss die Seite mit 4 multipliziert werden, man bekommt 16 dm. Addiere die Seiten des Rechtecks und multipliziere mit 2. Es wird dieselbe Zahl sein.
In der Aufgabe musst du auch beantworten, wie sehr sich die Bereiche unterscheiden. Subtrahieren Sie dazu die kleinere Zahl von der größeren Zahl. Der Unterschied beträgt 4 dm2.
Antwort. Die Bereiche sind 16 dm2 und 12 dm2. Der Platz hat 4 dm mehr2.
Beweisproblem
Zustand. Ein Quadrat wird auf dem Schenkel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks gebaut. Zu seiner Hypotenuse wird eine Höhe gebaut, auf der ein weiteres Quadrat gebaut wird. Beweisen Sie, dass die Fläche des ersten doppelt so groß ist wie die des zweiten.
Entscheidung. Wir führen die Notation ein. Das Bein sei gleich a und die zur Hypotenuse gezogene Höhe sei x. Der Flächeninh alt des ersten Quadrats ist S1, der des zweiten Quadrats ist S2.
Die Fläche des Quadrats, das auf dem Bein aufgebaut ist, lässt sich leicht berechnen. Es stellt sich heraus, dass es gleich a2 ist. Beim zweiten Wert ist die Sache nicht so einfach.
Zunächst musst du die Länge der Hypotenuse herausfinden. Dafür ist die Formel des Satzes von Pythagoras nützlich. Einfache Transformationen führen zu diesem Ausdruck: a√2.
Da die Höhe in einem zur Basis gezeichneten gleichschenkligen Dreieck auch Mittellinie und Höhe ist, teilt sie das große Dreieck in zwei gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke. Daher ist die Höhe die Hälfte der Hypotenuse. Das heißt, x \u003d (a √ 2) / 2. Von hier aus ist es einfach, den Bereich S2 herauszufinden. Es stellt sich heraus, dass es gleich a2/2.
ist
Offensichtlich unterscheiden sich die aufgezeichneten Werte genau um den Faktor zwei. Und der zweite ist viel weniger. Wie zum Nachweis erforderlich.
Ungewöhnliches Puzzle - Tangram
Es besteht aus einem Quadrat. Es muss nach bestimmten Regeln in verschiedene Formen geschnitten werden. Die Gesamtzahl der Teile sollte 7 betragen.
Die Regeln gehen davon aus, dass während des Spiels alle resultierenden Teile verwendet werden. Aus diesen müssen Sie andere geometrische Formen herstellen. Zum Beispiel,Rechteck, Trapez oder Parallelogramm.
Aber noch interessanter ist es, wenn aus den Stücken die Silhouetten von Tieren oder Gegenständen gewonnen werden. Außerdem stellt sich heraus, dass die Fläche aller abgeleiteten Figuren gleich der des ursprünglichen Quadrats ist.
