Raumfiguren wie Kugel, Zylinder, Kegel, Pyramide und Prisma kennt jeder Gymnasiast. In diesem Artikel erfahren Sie, was ein Dreiecksprisma ist und durch welche Eigenschaften es sich auszeichnet.
Welche Zahl werden wir in dem Artikel berücksichtigen?
Das Dreiecksprisma ist der einfachste Vertreter der Klasse der Prismen, das weniger Seiten, Ecken und Kanten hat als jede andere ähnliche räumliche Figur. Dieses Prisma wird gebildet aus zwei Dreiecken, die eine beliebige Form haben können, aber notwendigerweise gleich sein müssen und in parallelen Ebenen im Raum liegen, und drei Parallelogrammen, die im allgemeinen Fall nicht gleich sind. Zur Verdeutlichung ist die beschriebene Abbildung unten dargestellt.
Wie bekomme ich ein dreieckiges Prisma? Es ist ganz einfach: Sie sollten ein Dreieck nehmen und es auf einen Vektor im Raum übertragen. Verbinden Sie dann die identischen Ecken der beiden Dreiecke mit Segmenten. So erh alten wir den Rahmen der Figur. Wenn wir uns nun vorstellen, dass dieser Rahmen die festen Seiten begrenzt, dann bekommen wirdargestellte dreidimensionale Figur.
Aus welchen Elementen besteht das untersuchte Prisma?
Ein dreieckiges Prisma ist ein Polyeder, das heißt, es besteht aus mehreren sich schneidenden Flächen oder Seiten. Es wurde oben angedeutet, dass es fünf solcher Seiten hat (zwei dreieckige und drei viereckige). Dreieckige Seiten werden Basen genannt, während Parallelogramme Seitenflächen sind.
Wie jedes Polyeder hat das untersuchte Prisma Ecken. Im Gegensatz zu einer Pyramide sind die Ecken eines Prismas gleich. Die dreieckige Figur hat sechs davon. Alle gehören zu beiden Basen. Zwei Basiskanten und eine Seitenkante schneiden sich an jedem Scheitelpunkt.
Wenn wir die Anzahl der Ecken zur Anzahl der Seiten der Figur addieren und dann die Zahl 2 von dem resultierenden Wert subtrahieren, erh alten wir die Antwort auf die Frage, wie viele Kanten das betrachtete Prisma hat. Es gibt neun davon: sechs begrenzen die Basen, und die restlichen drei trennen die Parallelogramme voneinander.
Formtypen
Die in den vorangegangenen Absätzen hinreichend detaillierte Beschreibung eines dreieckigen Prismas entspricht mehreren Arten von Figuren. Betrachten Sie ihre Klassifizierung.
Das untersuchte Prisma kann geneigt und gerade sein. Der Unterschied zwischen ihnen liegt in der Art der Seitenflächen. In einem geraden Prisma sind sie Rechtecke und in einem geneigten Prisma allgemeine Parallelogramme. Unten sind zwei Prismen mit dreieckiger Grundfläche dargestellt, eines gerade und eines schräg.
Im Gegensatz zu einem geneigten Prisma hat ein gerades Prisma alle Flächenwinkel zwischen den Basen undSeiten sind 90°. Was bedeutet die letzte Tatsache? Dass die Höhe eines dreieckigen Prismas, d. h. der Abstand zwischen seinen Grundflächen, in einer geraden Figur gleich der Länge einer beliebigen Seitenkante ist. Bei einer schrägen Figur ist die Höhe immer kleiner als die Länge einer ihrer Seitenkanten.
Prisma mit dreieckiger Basis kann unregelmäßig und korrekt sein. Wenn seine Grundflächen Dreiecke mit gleichen Seiten sind und die Figur selbst gerade ist, wird sie als regulär bezeichnet. Ein reguläres Prisma hat eine ziemlich hohe Symmetrie, einschließlich Reflexionsebenen und Rotationsachsen. Für ein reguläres Prisma werden unten Formeln zur Berechnung des Volumens und der Oberfläche der Flächen angegeben. Also der Reihe nach.
Fläche eines dreieckigen Prismas
Bevor wir fortfahren, die entsprechende Formel zu erh alten, lassen Sie uns das richtige Prisma entf alten.
Es ist klar, dass die Fläche einer Figur berechnet werden kann, indem man drei Flächen von identischen Rechtecken und zwei Flächen von gleichen Dreiecken mit denselben Seiten addiert. Lassen Sie uns die Höhe des Prismas mit dem Buchstaben h und die Seite seiner dreieckigen Basis mit dem Buchstaben a bezeichnen. Dann gilt für die Fläche des Dreiecks S3:
S3=√3/4a2
Diesen Ausdruck erhält man, indem man die Höhe eines Dreiecks mit seiner Grundlinie multipliziert und das Ergebnis dann durch 2 dividiert.
Für die Fläche des Rechtecks S4 erh alten wir:
S4=ah
Addiert man die Flächen aller Seiten, erhält man die Gesamtfläche der Figur:
S=2 S3+ 3S4=√3/2a2+ 3ah
Hier gibt der erste Term die Fläche der Basen wieder, der zweite die Fläche der Seitenfläche des dreieckigen Prismas.
Erinnere dich daran, dass diese Formel nur für eine reguläre Figur gilt. Im Falle eines falsch geneigten Prismas sollte die Berechnung der Fläche schrittweise erfolgen: Bestimmen Sie zuerst die Fläche der Basen und dann - die Seitenfläche. Letzteres ist gleich dem Produkt aus der Seitenkante und dem Schnittumfang senkrecht zu den Seitenflächen.
Das Volumen der Figur
Das Volumen eines dreieckigen Prismas kann mit der Formel berechnet werden, die allen Figuren dieser Klasse gemeinsam ist. Es sieht so aus:
V=So h
Im Falle eines regulären dreieckigen Prismas nimmt diese Formel die folgende spezifische Form an:
V=√3/4a2 h
Wenn das Prisma unregelmäßig, aber gerade ist, sollten Sie anstelle der Fläche der Basis das Dreieck durch die entsprechende Fläche ersetzen. Wenn das Prisma geneigt ist, sollte zusätzlich zur Bestimmung der Basisfläche auch seine Höhe berechnet werden. In der Regel werden dazu trigonometrische Formeln verwendet, wenn die Flächenwinkel zwischen Seiten und Grundflächen bekannt sind.
