Jeder Schüler hat schon einmal von einem runden Kegel gehört und stellt sich vor, wie diese dreidimensionale Figur aussieht. Dieser Artikel definiert die Entwicklung eines Kegels, liefert Formeln, die seine Eigenschaften beschreiben, und beschreibt, wie man ihn mit Zirkel, Winkelmesser und Lineal konstruiert.
Kreiskegel in Geometrie
Lassen Sie uns eine geometrische Definition dieser Figur geben. Ein runder Kegel ist eine Fläche, die durch gerade Liniensegmente gebildet wird, die alle Punkte eines bestimmten Kreises mit einem einzigen Punkt im Raum verbinden. Dieser einzelne Punkt darf nicht zu der Ebene gehören, in der der Kreis liegt. Wenn wir statt eines Kreises einen Kreis nehmen, dann führt auch diese Methode zu einem Kegel.
Der Kreis heißt Basis der Figur, sein Umfang ist Leitlinie. Die Segmente, die den Punkt mit der Leitlinie verbinden, werden Erzeugende oder Generatoren genannt, und der Punkt, an dem sie sich schneiden, ist der Scheitel des Kegels.
Runder Kegel kann gerade und schräg sein. Beide Figuren sind in der folgenden Abbildung dargestellt.
Der Unterschied zwischen ihnen ist folgender: Wenn die Senkrechte von der Spitze des Kegels genau auf den Mittelpunkt des Kreises fällt, dann ist der Kegel gerade. Für ihn ist die Senkrechte, die Höhe der Figur genannt wird, ein Teil seiner Achse. Bei einem schiefen Kegel bilden Höhe und Achse einen spitzen Winkel.
Aufgrund der Einfachheit und Symmetrie der Figur betrachten wir im Folgenden nur die Eigenschaften eines geraden Kegels mit runder Grundfläche.
Form durch Rotation erh alten
Bevor wir uns mit der Entwicklung der Kegeloberfläche befassen, ist es hilfreich zu wissen, wie diese räumliche Figur durch Rotation erh alten werden kann.
Angenommen, wir haben ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b, c. Die ersten beiden sind Beine, c ist die Hypotenuse. Lassen Sie uns ein Dreieck auf Bein a legen und beginnen, es um Bein b zu drehen. Die Hypotenuse c beschreibt dann eine Kegelfläche. Diese einfache Kegeltechnik ist im Diagramm unten dargestellt.
Offensichtlich ist Bein a der Radius der Basis der Figur, Bein b ist ihre Höhe, und die Hypotenuse c entspricht der Erzeugenden eines runden rechten Kegels.
Blick auf die Kegelentwicklung
Wie Sie vielleicht erraten haben, besteht der Kegel aus zwei Arten von Oberflächen. Einer davon ist ein flacher Grundkreis. Angenommen, es hat den Radius r. Die zweite Fläche ist seitlich und wird konisch genannt. Sein Erzeuger sei gleich g.
Wenn wir einen Papierkegel haben, dann können wir eine Schere nehmen und die Basis davon abschneiden. Dann sollte die konische Oberfläche geschnitten werdenentlang einer beliebigen Erzeugenden und setzen Sie sie im Flugzeug ein. Auf diese Weise erhielten wir eine Entwicklung der Mantelfläche des Kegels. Die beiden Flächen zusammen mit dem ursprünglichen Kegel sind im Diagramm unten dargestellt.
Der Grundkreis ist unten rechts abgebildet. In der Mitte ist die entf altete Kegelfläche dargestellt. Es stellt sich heraus, dass es einem Kreissektor des Kreises entspricht, dessen Radius gleich der Länge der Erzeugenden g ist.
Winkel- und Flächen-Sweep
Nun erh alten wir Formeln, die uns mit den bekannten Parametern g und r erlauben, die Fläche und den Winkel des Kegels zu berechnen.
Offensichtlich hat der Bogen des Kreissektors, der oben in der Abbildung gezeigt wird, eine Länge, die gleich dem Umfang der Basis ist, also:
l=2pir.
Würde man den ganzen Kreis mit Radius g bauen, dann wäre seine Länge:
L=2pig.
Da die Länge L 2Pi im Bogenmaß entspricht, lässt sich aus der entsprechenden Proportion der Winkel bestimmen, auf dem der Kreisbogen l aufliegt:
L==>2pi;
l==> φ.
Dann ist der unbekannte Winkel φ gleich:
φ=2pil/L.
Durch Einsetzen der Ausdrücke für die Längen l und L erhält man die Formel für den Entwicklungswinkel der Mantelfläche des Kegels:
φ=2pir/g.
Der Winkel φ wird hier im Bogenmaß ausgedrückt.
Um die Fläche Sb eines Kreissektors zu bestimmen, verwenden wir den gefundenen Wert von φ. Wir machen einen weiteren Anteil, nur für die Bereiche. Wir haben:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Von wo aus Sb ausgedrückt werden soll, und ersetzen Sie dann den Wert des Winkels φ. Wir erh alten:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Für die Fläche einer Kegelfläche haben wir eine ziemlich kompakte Formel erh alten. Der Wert von Sb ist gleich dem Produkt aus drei Faktoren: pi, dem Radius der Figur und ihrer Erzeugenden.
Dann ist der Flächeninh alt der gesamten Oberfläche der Figur gleich der Summe von Sb und So (Kreis Grundfläche). Wir erh alten die Formel:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Kegelbogen auf Papier bauen
Um diese Aufgabe zu erledigen, benötigen Sie ein Blatt Papier, einen Bleistift, einen Winkelmesser, ein Lineal und einen Zirkel.
Zeichnen wir zunächst ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm, dessen Drehung um das 3 cm lange Bein den gewünschten Kegel ergibt. Die Figur hat r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Das Erstellen eines Sweeps beginnt mit dem Zeichnen eines Kreises mit dem Radius r mit einem Kompass. Seine Länge beträgt 6pi cm, daneben zeichnen wir einen weiteren Kreis, jedoch mit einem Radius g. Seine Länge entspricht 10pi cm Jetzt müssen wir einen kreisförmigen Sektor von einem großen Kreis abschneiden. Sein Winkel φ ist:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Nun setzen wir diesen Winkel mit einem Winkelmesser auf einen Kreis mit Radius g und zeichnen zwei Radien, die den Kreissektor begrenzen.
AlsoDamit haben wir eine Abwicklung des Kegels mit den angegebenen Parametern Radius, Höhe und Mantellinie gebaut.
Ein Beispiel für die Lösung eines geometrischen Problems
Gegeben sei ein runder gerader Kegel. Es ist bekannt, dass der Winkel seiner seitlichen Bewegung 120o beträgt. Radius und Erzeugende dieser Figur müssen ermittelt werden, wenn bekannt ist, dass die Höhe h des Kegels 10 cm beträgt.
Die Aufgabe ist nicht schwer, wenn wir uns daran erinnern, dass ein runder Kegel eine Rotationsfigur eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Aus diesem Dreieck folgt eine eindeutige Beziehung zwischen Höhe, Radius und Mantellinie. Schreiben wir die entsprechende Formel:
g2=h2+ r2.
Der zweite zu verwendende Ausdruck beim Lösen ist die Formel für den Winkel φ:
φ=2pir/g.
Wir haben also zwei Gleichungen, die zwei unbekannte Größen (r und g) in Beziehung setzen.
Drücken Sie g aus der zweiten Formel aus und setzen Sie das Ergebnis in die erste ein, wir erh alten:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Winkel φ=120o im Bogenmaß ist 2pi/3. Wir ersetzen diesen Wert, wir erh alten die endgültigen Formeln für r und g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Es bleibt, den Höhenwert zu ersetzen und die Antwort auf die Problemfrage zu erh alten: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
