Dreieckige Pyramide und Formeln zur Flächenbestimmung

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 05:21

Pyramide ist eine geometrische Raumfigur, deren Eigenschaften im Gymnasium im Rahmen der Festkörpergeometrie studiert werden. In diesem Artikel betrachten wir eine dreieckige Pyramide, ihre Typen sowie Formeln zur Berechnung ihrer Oberfläche.

Von welcher Pyramide reden wir?

Eine dreieckige Pyramide ist eine Figur, die man erhält, indem man alle Ecken eines beliebigen Dreiecks mit einem einzigen Punkt verbindet, der nicht in der Ebene dieses Dreiecks liegt. Nach dieser Definition soll die betrachtete Pyramide aus einem Anfangsdreieck, das Basis der Figur genannt wird, und drei Seitendreiecken bestehen, die mit der Basis eine gemeinsame Seite haben und in einem Punkt miteinander verbunden sind. Letzteres wird die Spitze der Pyramide genannt.

Das obige Bild zeigt eine beliebige dreieckige Pyramide.

Die betrachtete Figur kann schräg oder gerade sein. Im letzteren Fall muss die von der Spitze der Pyramide zu ihrer Basis fallende Senkrechte sie im geometrischen Mittelpunkt schneiden. das geometrische Zentrum von jedemDreieck ist der Schnittpunkt seiner Seitenhalbierenden. Das geometrische Zentrum fällt mit dem Massezentrum der Figur in der Physik zusammen.

Wenn ein regelmäßiges (gleichseitiges) Dreieck an der Basis einer geraden Pyramide liegt, dann heißt es ein regelmäßiges Dreieck. In einer regelmäßigen Pyramide sind alle Seiten gleich und gleichseitige Dreiecke.

Wenn die Höhe einer regelmäßigen Pyramide so groß ist, dass ihre seitlichen Dreiecke gleichseitig werden, dann wird sie Tetraeder genannt. In einem Tetraeder sind alle vier Flächen gleich, also kann jede von ihnen als Basis betrachtet werden.

Pyramidenelemente

Diese Elemente umfassen die Flächen oder Seiten einer Figur, ihre Kanten, Scheitelpunkte, Höhe und Apotheme.

Wie gezeigt, sind alle Seiten einer dreieckigen Pyramide Dreiecke. Ihre Zahl ist 4 (3 Seiten und eine an der Basis).

Die Eckpunkte sind die Schnittpunkte der drei Dreiecksseiten. Es ist nicht schwer zu erraten, dass es für die betrachtete Pyramide 4 davon gibt (3 gehören zur Basis und 1 zur Spitze der Pyramide).

Kanten können als Linien definiert werden, die zwei dreieckige Seiten schneiden, oder als Linien, die jeweils zwei Eckpunkte verbinden. Die Anzahl der Kanten entspricht der doppelten Anzahl der Basisecken, also bei einer dreieckigen Pyramide sind es 6 (3 Kanten gehören zur Basis und 3 Kanten werden von den Seitenflächen gebildet).

Höhe ist, wie oben erwähnt, die Länge der Senkrechten, die von der Spitze der Pyramide zu ihrer Basis gezogen wird. Wenn wir Höhen von diesem Scheitelpunkt zu jeder Seite der dreieckigen Basis zeichnen,dann werden sie Apotems (oder Apothems) genannt. Somit hat die dreieckige Pyramide eine Höhe und drei Apotheme. Letztere sind bei einer regulären Pyramide einander gleich.

Die Basis der Pyramide und ihre Fläche

Da die Grundfläche der betrachteten Figur im Allgemeinen ein Dreieck ist, reicht es zur Berechnung ihrer Fläche aus, ihre Höhe h_o und die Seitenlänge der Grundfläche zu bestimmen a, auf dem es abgesenkt wird. Die Formel für die Fläche S_o der Basis lautet:

S_o=1/2h_oa

Wenn das Dreieck der Grundfläche gleichseitig ist, wird die Fläche der Grundfläche der dreieckigen Pyramide nach folgender Formel berechnet:

S_o=√3/4a²

D.h. die Fläche S_o ist eindeutig bestimmt durch die Länge der Seite a der Dreiecksbasis.

Seiten- und Gesamtfläche der Figur

Bevor wir die Fläche einer dreieckigen Pyramide betrachten, ist es sinnvoll, ihre Entwicklung zu zeigen. Sie ist unten abgebildet.

Die Fläche dieses Sweeps, die von vier Dreiecken gebildet wird, ist die Gesamtfläche der Pyramide. Eines der Dreiecke entspricht der Basis, deren Formel für den betrachteten Wert oben geschrieben wurde. Drei seitliche Dreiecksflächen bilden zusammen die seitliche Fläche der Figur. Um diesen Wert zu bestimmen, genügt es daher, die obige Formel für ein beliebiges Dreieck auf jedes von ihnen anzuwenden und dann die drei Ergebnisse zu addieren.

Wenn die Pyramide stimmt, dann die RechnungSeitenflächenbereich wird erleichtert, da alle Seitenflächen identische gleichseitige Dreiecke sind. Bezeichne h_b die Länge des Apothems, dann lässt sich die Fläche der Mantelfläche S_b wie folgt bestimmen:

S_b=3/2ah_b

Diese Formel folgt aus dem allgemeinen Ausdruck für die Fläche eines Dreiecks. Die Zahl 3 erschien in den Zählern, weil die Pyramide drei Seitenflächen hat.

Apotema h_b in einer regelmäßigen Pyramide kann berechnet werden, wenn die Höhe der Figur h bekannt ist. Wenden wir den Satz des Pythagoras an, erh alten wir:

h_b=√(h²+ a²/12)

Offensichtlich ist die Gesamtfläche S der Figurenoberfläche gleich der Summe ihrer Seiten- und Grundflächen:

S=S_o+ S_b

Für eine reguläre Pyramide erh alten wir durch Ersetzen aller bekannten Werte die Formel:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Die Fläche einer dreieckigen Pyramide hängt nur von der Seitenlänge ihrer Basis und von der Höhe ab.

Beispielaufgabe

Es ist bekannt, dass die Seitenkante einer dreieckigen Pyramide 7 cm und die Seite der Basis 5 cm beträgt. Sie müssen die Oberfläche der Figur finden, wenn Sie wissen, dass die Pyramide ist regelmäßig.

Verwenden Sie eine allgemeine Gleichheit:

S=S_o+ S_b

Bereich S_oist gleich:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825cm}2.

Um die laterale Oberfläche zu bestimmen, müssen Sie das Apotema finden. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass durch die Länge der Seitenkante a_b bestimmt ist durch die Formel:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Dann ist die Fläche von S_b:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

Die Gesamtfläche der Pyramide beträgt:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86cm².

Beachten Sie, dass wir bei der Lösung des Problems den Wert der Pyramidenhöhe nicht in den Berechnungen verwendet haben.