Diese geometrischen Formen umgeben uns überall. Konvexe Polygone können natürlich sein, z. B. eine Wabe, oder künstlich (künstlich). Diese Figuren werden bei der Herstellung verschiedener Arten von Beschichtungen, in der Malerei, Architektur, Dekoration usw. verwendet. Konvexe Polygone haben die Eigenschaft, dass alle ihre Punkte auf derselben Seite einer geraden Linie liegen, die durch ein Paar benachbarter Eckpunkte dieser geometrischen Figur verläuft. Es gibt auch andere Definitionen. Ein Polygon heißt konvex, wenn es bezüglich einer Geraden, die eine seiner Seiten enthält, in einer einzigen Halbebene liegt.
Konvexe Polygone
Im Rahmen der elementaren Geometrie werden immer nur einfache Polygone betrachtet. Um alle Eigenschaften solcher zu verstehengeometrische Formen, ist es notwendig, ihre Natur zu verstehen. Zunächst sollte klar sein, dass jede Linie als geschlossen bezeichnet wird, deren Enden zusammenfallen. Darüber hinaus kann die von ihm gebildete Figur eine Vielzahl von Konfigurationen haben. Ein Polygon ist eine einfache geschlossene unterbrochene Linie, bei der benachbarte Verbindungen nicht auf derselben geraden Linie liegen. Seine Verbindungen und Eckpunkte sind jeweils die Seiten und Eckpunkte dieser geometrischen Figur. Eine einfache Polylinie darf keine Selbstüberschneidungen haben.
Die Eckpunkte eines Polygons heißen benachbart, wenn sie die Enden einer seiner Seiten darstellen. Eine geometrische Figur, die die n-te Anzahl von Ecken und damit die n-te Anzahl von Seiten hat, wird als n-Eck bezeichnet. Die unterbrochene Linie selbst wird als Rand oder Kontur dieser geometrischen Figur bezeichnet. Eine polygonale Ebene oder ein flaches Polygon wird als Endteil einer von ihr begrenzten Ebene bezeichnet. Die angrenzenden Seiten dieser geometrischen Figur werden Segmente einer unterbrochenen Linie genannt, die von einem Scheitelpunkt ausgeht. Sie sind nicht benachbart, wenn sie von verschiedenen Ecken des Polygons kommen.
Andere Definitionen konvexer Polygone
In der elementaren Geometrie gibt es mehrere äquivalente Definitionen, die angeben, welches Polygon als konvex bezeichnet wird. Alle diese Aussagen sind gleichermaßen wahr. Ein Polygon wird als konvex betrachtet, wenn:
• jedes Segment, das zwei beliebige Punkte darin verbindet, liegt vollständig darin;
• darinalle seine Diagonalen liegen;
• jeder Innenwinkel darf 180° nicht überschreiten.
Ein Polygon teilt eine Ebene immer in 2 Teile. Einer von ihnen ist begrenzt (er kann in einen Kreis eingeschlossen werden), und der andere ist unbegrenzt. Der erste wird als innerer Bereich und der zweite als äußerer Bereich dieser geometrischen Figur bezeichnet. Dieses Polygon ist ein Schnittpunkt (mit anderen Worten ein gemeinsames Bauteil) mehrerer Halbebenen. Außerdem gehört jedes Segment, das an Punkten endet, die zum Polygon gehören, vollständig dazu.
Varietäten konvexer Polygone
Die Definition eines konvexen Polygons weist nicht darauf hin, dass es viele Arten davon gibt. Und jeder von ihnen hat bestimmte Kriterien. Konvexe Polygone mit einem Innenwinkel von 180° heißen also schwach konvex. Eine konvexe geometrische Figur mit drei Ecken wird Dreieck genannt, vier - ein Viereck, fünf - ein Fünfeck usw. Jedes der konvexen n-Ecke erfüllt die folgende wesentliche Anforderung: n muss gleich oder größer als 3 sein Die Dreiecke sind konvex. Eine geometrische Figur dieser Art, bei der sich alle Eckpunkte auf demselben Kreis befinden, wird als in einen Kreis einbeschrieben bezeichnet. Ein konvexes Vieleck heißt umschrieben, wenn alle seine Seiten in der Nähe des Kreises es berühren. Zwei Polygone heißen nur dann gleich, wenn sie durch Superposition überlagert werden können. Ein ebenes Vieleck wird als polygonale Ebene bezeichnet.(Teil der Ebene), der durch diese geometrische Figur begrenzt wird.
Regelmäßige konvexe Polygone
Regelmäßige Polygone sind geometrische Formen mit gleichen Winkeln und Seiten. In ihnen befindet sich ein Punkt 0, der von jedem seiner Eckpunkte den gleichen Abstand hat. Es wird das Zentrum dieser geometrischen Figur genannt. Die Segmente, die das Zentrum mit den Eckpunkten dieser geometrischen Figur verbinden, heißen Apotheme, und diejenigen, die den Punkt 0 mit den Seiten verbinden, heißen Radien.
Ein regelmäßiges Viereck ist ein Quadrat. Ein gleichseitiges Dreieck heißt gleichseitiges Dreieck. Für solche Figuren gilt folgende Regel: Jede Ecke eines konvexen Polygons ist 180°(n-2)/ n, wobei n die Anzahl der Ecken dieser konvexen geometrischen Figur ist.
Die Fläche eines beliebigen regelmäßigen Polygons wird durch die Formel bestimmt:
S=ph, wobei p die Hälfte der Summe aller Seiten des gegebenen Polygons und h die Länge des Apothems ist.
Eigenschaften konvexer Polygone
Konvexe Polygone haben bestimmte Eigenschaften. Darin befindet sich also zwangsläufig ein Segment, das 2 beliebige Punkte einer solchen geometrischen Figur verbindet. Beweis:
Angenommen, P sei ein gegebenes konvexes Vieleck. Wir nehmen 2 beliebige Punkte, zum Beispiel A, B, die zu P gehören. Gemäß der bestehenden Definition eines konvexen Polygons befinden sich diese Punkte auf derselben Seite der Linie, die eine beliebige Seite von P enthält. Daher hat auch AB diese Eigenschaft und ist in P enth alten. Ein konvexes Polygon kann immer durch absolut alle Diagonalen, die von einer seiner Ecken gezogen werden, in mehrere Dreiecke geteilt werden.
Winkel konvexer geometrischer Formen
Die Ecken eines konvexen Vielecks sind die Ecken, die von seinen Seiten gebildet werden. Innenecken befinden sich im inneren Bereich einer gegebenen geometrischen Figur. Der Winkel, der durch seine Seiten gebildet wird, die an einer Ecke zusammenlaufen, wird als Winkel eines konvexen Polygons bezeichnet. Winkel, die an die Innenwinkel einer bestimmten geometrischen Figur angrenzen, werden als Außenwinkel bezeichnet. Jede Ecke eines konvexen Polygons, die sich darin befindet, ist:
180° - x, wobei x der Wert des Außenwinkels ist. Diese einfache Formel funktioniert für alle geometrischen Formen dieser Art.
Allgemein gilt für Außenecken die Regel: Jeder Winkel eines konvexen Polygons ist gleich der Differenz zwischen 180° und dem Wert des Innenwinkels. Er kann Werte von -180° bis 180° annehmen. Wenn also der Innenwinkel 120° beträgt, beträgt der Außenwinkel 60°.
Winkelsumme konvexer Polygone
Die Summe der Innenwinkel eines konvexen Polygons ergibt sich aus der Formel:
180°(n-2), wobei n die Anzahl der Ecken des n-Ecks ist.
Die Summe der Winkel eines konvexen Polygons lässt sich recht einfach berechnen. Betrachten Sie eine solche geometrische Figur. Um die Summe der Winkel innerhalb eines konvexen Polygons zu bestimmen, ist es notwendigVerbinde einen seiner Knoten mit anderen Knoten. Als Ergebnis dieser Aktion werden (n-2) Dreiecke erh alten. Wir wissen, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks immer 180° beträgt. Da ihre Anzahl in jedem Polygon (n-2) ist, ist die Summe der Innenwinkel einer solchen Figur 180° x (n-2).
Die Summe der Winkel eines konvexen Polygons, nämlich zwei beliebige Innen- und benachbarte Außenwinkel, für eine gegebene konvexe geometrische Figur wird immer gleich 180° sein. Daraus lässt sich die Summe aller Winkel bestimmen:
180 x n.
Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°(n-2). Daraus ergibt sich die Summe aller Außenecken dieser Figur nach folgender Formel:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Die Summe der Außenwinkel eines konvexen Polygons ist immer 360° (unabhängig von der Anzahl der Seiten).
Der Außenwinkel eines konvexen Polygons wird im Allgemeinen durch die Differenz zwischen 180° und dem Wert des Innenwinkels dargestellt.
Weitere Eigenschaften eines konvexen Vielecks
Zusätzlich zu den grundlegenden Eigenschaften dieser geometrischen Formen haben sie andere, die sich ergeben, wenn man sie manipuliert. Jedes der Polygone kann also in mehrere konvexe n-Ecke unterteilt werden. Dazu ist es notwendig, jede seiner Seiten fortzusetzen und diese geometrische Figur entlang dieser geraden Linien zu schneiden. Es ist auch möglich, ein beliebiges Polygon so in mehrere konvexe Teile zu teilen, dass die Scheitelpunkte jedes Teils mit allen seinen Scheitelpunkten zusammenfallen. Aus einer solchen geometrischen Figur lassen sich Dreiecke sehr einfach herstellen, indem man alles zeichnetDiagonalen von einem Scheitelpunkt. Somit kann jedes Polygon schließlich in eine bestimmte Anzahl von Dreiecken unterteilt werden, was sich als sehr nützlich erweist, um verschiedene Probleme zu lösen, die mit solchen geometrischen Formen verbunden sind.
Umfang eines konvexen Vielecks
Segmente einer unterbrochenen Linie, Seiten eines Polygons genannt, werden meistens mit den folgenden Buchstaben bezeichnet: ab, bc, cd, de, ea. Dies sind die Seiten einer geometrischen Figur mit den Ecken a, b, c, d, e. Die Summe der Längen aller Seiten dieses konvexen Vielecks heißt Umfang.
Polygonumfang
Konvexe Polygone können eingeschrieben und umschrieben werden. Ein Kreis, der alle Seiten dieser geometrischen Figur berührt, wird darin eingeschrieben genannt. Ein solches Polygon heißt umschrieben. Der Mittelpunkt eines Kreises, der einem Polygon einbeschrieben ist, ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden aller Winkel innerhalb einer gegebenen geometrischen Figur. Die Fläche eines solchen Polygons ist:
S=pr, wobei r der Radius des Innenkreises und p der Halbumfang des gegebenen Vielecks ist.
Ein Kreis, der die Eckpunkte eines Vielecks enthält, heißt umschrieben. Darüber hinaus wird diese konvexe geometrische Figur als eingeschrieben bezeichnet. Der Mittelpunkt des Kreises, der um ein solches Polygon umschrieben wird, ist der Schnittpunkt der sogenannten Mittelsenkrechten aller Seiten.
Diagonalen konvexer geometrischer Formen
Die Diagonalen eines konvexen Polygons sind Segmente, dienicht benachbarte Knoten verbinden. Jeder von ihnen liegt innerhalb dieser geometrischen Figur. Die Anzahl der Diagonalen eines solchen n-Ecks ergibt sich aus der Formel:
N=n (n – 3)/ 2.
Die Anzahl der Diagonalen eines konvexen Vielecks spielt in der Elementargeometrie eine wichtige Rolle. Die Anzahl der Dreiecke (K), in die jedes konvexe Polygon geteilt werden kann, wird nach folgender Formel berechnet:
K=n – 2.
Die Anzahl der Diagonalen eines konvexen Polygons hängt immer von der Anzahl seiner Ecken ab.
Zerlegung eines konvexen Vielecks
In einigen Fällen ist es zur Lösung geometrischer Probleme erforderlich, ein konvexes Polygon in mehrere Dreiecke mit sich nicht schneidenden Diagonalen aufzuteilen. Dieses Problem kann durch Herleitung einer bestimmten Formel gelöst werden.
Definition des Problems: Nennen wir eine echte Aufteilung eines konvexen n-Ecks in mehrere Dreiecke durch Diagonalen, die sich nur in den Ecken dieser geometrischen Figur schneiden.
Lösung: Angenommen, dass Ð1, Ð2, Ð3 …, Pn Ecken dieses n-Ecks sind. Die Zahl Xn ist die Zahl ihrer Partitionen. Betrachten wir sorgfältig die erh altene Diagonale der geometrischen Figur Pi Pn. In jeder der regulären Partitionen gehört P1 Pn zu einem bestimmten Dreieck P1 Pi Pn, das 1<i<n hat. Davon ausgehend und unter der Annahme, dass i=2, 3, 4 …, n-1, erh alten wir (n-2) Gruppen dieser Partitionen, die alle möglichen Sonderfälle enth alten.
I=2 sei eine Gruppe regulärer Partitionen, die immer die Diagonale Ð2 Pn enthält. Die Anzahl der Partitionen, die darin eintreten, ist die gleiche wie die Anzahl der Partitionen(n-1)-Eck P2 P3 P4… Pn. Mit anderen Worten, es ist gleich Xn-1.
Wenn i=3, dann enthält diese andere Gruppe von Partitionen immer die Diagonalen Ð3 Ð1 und Ð3 Pn. In diesem Fall stimmt die Anzahl der regulären Partitionen, die in dieser Gruppe enth alten sind, mit der Anzahl der Partitionen des (n-2)-Ecks P3 P4 … Pn überein. Mit anderen Worten, es entspricht Xn-2.
Sei i=4, dann wird unter den Dreiecken eine reguläre Partition sicherlich ein Dreieck P1 P4 Pn enth alten, an das sich das Viereck P1 P2 P3 P4, (n-3)-Eck P4 P5 … Pn anschließen wird. Die Anzahl der regulären Partitionen eines solchen Vierecks ist X4, und die Anzahl der Partitionen eines (n-3)-Ecks ist Xn-3. Basierend auf dem Vorhergehenden können wir sagen, dass die Gesamtzahl der in dieser Gruppe enth altenen korrekten Partitionen Xn-3 X4 ist. Andere Gruppen mit i=4, 5, 6, 7 … enth alten Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … reguläre Partitionen.
I=n-2, dann ist die Anzahl der korrekten Splits in dieser Gruppe gleich der Anzahl der Splits in der Gruppe, in der i=2 (mit anderen Worten gleich Xn-1).
Da X1=X2=0, X3=1, X4=2…, dann ist die Anzahl aller Partitionen eines konvexen Polygons:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Beispiel:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Anzahl der richtigen Partitionen, die eine Diagonale innerhalb
schneiden
Bei der Prüfung von Sonderfällen kann man aufdie Annahme, dass die Anzahl der Diagonalen konvexer n-Ecke gleich dem Produkt aller Teilungen dieser Figur durch (n-3) ist.
Beweis dieser Annahme: Stellen Sie sich vor, dass P1n=Xn(n-3), dann kann jedes n-Eck in (n-2)-Dreiecke unterteilt werden. Außerdem kann man aus ihnen ein (n-3)-Viereck zusammensetzen. Außerdem hat jedes Viereck eine Diagonale. Da in dieser konvexen geometrischen Figur zwei Diagonalen gezeichnet werden können, bedeutet dies, dass zusätzliche (n-3) Diagonalen in beliebige (n-3)-Vierecke gezeichnet werden können. Daraus können wir schließen, dass es in jeder regulären Partition möglich ist, (n-3)-Diagonalen zu zeichnen, die die Bedingungen dieses Problems erfüllen.
Fläche konvexer Polygone
Bei der Lösung verschiedener Probleme der Elementargeometrie muss häufig die Fläche eines konvexen Polygons bestimmt werden. Angenommen (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n ist die Folge der Koordinaten aller benachbarten Eckpunkte eines Polygons, das keine Selbstüberschneidungen hat. In diesem Fall berechnet sich seine Fläche nach folgender Formel:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), wobei (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
