Die Fähigkeit, das Volumen räumlicher Figuren zu bestimmen, ist wichtig für die Lösung geometrischer und praktischer Probleme. Eine dieser Figuren ist ein Prisma. Wir werden in dem Artikel überlegen, was es ist, und zeigen, wie man das Volumen eines geneigten Prismas berechnet.
Was versteht man in der Geometrie unter einem Prisma?
Dies ist ein regelmäßiges Polyeder (Polyeder), das aus zwei identischen Basen gebildet wird, die sich in parallelen Ebenen befinden, und mehreren Parallelogrammen, die die markierten Basen verbinden.
Prismenbasen können beliebige Polygone sein, wie z. B. Dreieck, Viereck, Siebeneck usw. Außerdem bestimmt die Anzahl der Ecken (Seiten) des Vielecks den Namen der Figur.
Jedes Prisma mit einer n-Eck-Basis (n ist die Anzahl der Seiten) besteht aus n+2 Flächen, 2 × n Ecken und 3 × n Kanten. Aus den angegebenen Zahlen ist ersichtlich, dass die Anzahl der Elemente des Prismas dem Satz von Euler entspricht:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Das Bild unten zeigt, wie dreieckige und viereckige Prismen aus Glas aussehen.
Figurenarten. Gekipptes Prisma
Oben wurde bereits gesagt, dass der Name eines Prismas durch die Seitenzahl des Polygons an der Basis bestimmt wird. Es gibt jedoch andere Merkmale in seiner Struktur, die die Eigenschaften der Figur bestimmen. Wenn also alle Parallelogramme, die die Seitenfläche des Prismas bilden, durch Rechtecke oder Quadrate dargestellt werden, wird eine solche Figur als gerade Linie bezeichnet. Bei einem geraden Prisma ist der Abstand zwischen den Basen gleich der Länge der Seitenkante eines beliebigen Rechtecks.
Wenn einige oder alle Seiten Parallelogramme sind, dann sprechen wir von einem schiefen Prisma. Seine Höhe ist bereits geringer als die Länge der Seitenrippe.
Ein weiteres Kriterium, nach dem die betrachteten Figuren klassifiziert werden, sind die Seitenlängen und die Winkel des Polygons an der Basis. Wenn sie gleich sind, ist das Polygon korrekt. Eine gerade Figur mit einem regelmäßigen Vieleck an den Basen heißt regelmäßig. Es ist bequem, damit zu arbeiten, wenn die Oberfläche und das Volumen bestimmt werden. Ein geneigtes Prisma bereitet diesbezüglich einige Schwierigkeiten.
Die folgende Abbildung zeigt zwei Prismen mit quadratischer Grundfläche. Der 90°-Winkel zeigt den grundlegenden Unterschied zwischen einem geraden und einem schiefen Prisma.
Formel zur Bestimmung des Volumens einer Figur
Ein Teil des Raums, der von den Flächen eines Prismas begrenzt wird, wird sein Volumen genannt. Für die betrachteten Figuren beliebiger Art lässt sich dieser Wert nach folgender Formel ermitteln:
V=h × So
Hier bezeichnet das Symbol h die Höhe des Prismas,was ein Maß für den Abstand zwischen zwei Basen ist. Symbol So- ein Grundquadrat.
Die Grundfläche ist leicht zu finden. Angesichts der Tatsache, ob das Polygon regelmäßig ist oder nicht, und wenn Sie die Anzahl seiner Seiten kennen, sollten Sie die entsprechende Formel anwenden und So erh alten. Für ein regelmäßiges n-Eck mit der Seitenlänge a ist die Fläche beispielsweise:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Jetzt kommen wir zur Höhe h. Für ein gerades Prisma ist die Bestimmung der Höhe nicht schwierig, aber für ein schiefes Prisma ist dies keine leichte Aufgabe. Sie kann ausgehend von bestimmten Anfangsbedingungen mit verschiedenen geometrischen Methoden gelöst werden. Es gibt jedoch eine universelle Methode, um die Höhe einer Figur zu bestimmen. Beschreiben wir es kurz.
Die Idee ist, die Entfernung von einem Punkt im Raum zu einer Ebene zu finden. Nehmen Sie an, dass die Ebene durch die folgende Gleichung gegeben ist:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Dann ist das Flugzeug in einiger Entfernung:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Sind die Koordinatenachsen so angeordnet, dass der Punkt (0; 0; 0) in der Ebene der unteren Grundfläche des Prismas liegt, dann lässt sich die Gleichung für die Grundebene wie folgt schreiben:
z=0
Das bedeutet, dass die Formel für die Höhe geschrieben wirdalso:
h=z1
Es reicht aus, die z-Koordinate eines beliebigen Punktes der oberen Basis zu finden, um die Höhe der Figur zu bestimmen.
Beispiel zur Problemlösung
Die folgende Abbildung zeigt ein viereckiges Prisma. Die Basis eines geneigten Prismas ist ein Quadrat mit einer Seite von 10 cm, dessen Volumen berechnet werden muss, wenn bekannt ist, dass die Länge der Seitenkante 15 cm und der spitze Winkel des frontalen Parallelogramms 70 ° beträgt.
Da die Höhe h der Figur auch die Höhe des Parallelogramms ist, verwenden wir Formeln, um seine Fläche zu bestimmen, um h zu finden. Bezeichnen wir die Seiten des Parallelogramms wie folgt:
a=10cm;
b=15cm
Dann kannst du dafür folgende Formeln schreiben, um die Fläche Sp:
zu bestimmen
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Woher wir bekommen:
h=b × sin (α)
Hier ist α ein spitzer Winkel des Parallelogramms. Da die Grundfläche ein Quadrat ist, hat die Formel für das Volumen eines geneigten Prismas die Form:
V=a2 × b × sin (α)
Wir setzen die Daten aus der Bedingung in die Formel ein und erh alten die Antwort: V ≈ 1410 cm3.
