Den Rotationsfiguren in der Geometrie wird beim Studium ihrer Eigenschaften und Eigenschaften besondere Aufmerksamkeit geschenkt. Einer von ihnen ist ein Kegelstumpf. Dieser Artikel soll die Frage beantworten, mit welcher Formel man die Fläche eines Kegelstumpfes berechnen kann.
Von welcher Zahl reden wir?
Bevor die Fläche eines Kegelstumpfes beschrieben wird, ist es notwendig, eine genaue geometrische Definition dieser Figur zu geben. Abgestumpft ist ein solcher Kegel, der durch Abschneiden der Spitze eines gewöhnlichen Kegels durch eine Ebene entsteht. Bei dieser Definition sind einige Nuancen hervorzuheben. Erstens muss die Schnittebene parallel zur Ebene der Basis des Kegels sein. Zweitens muss die Ausgangsfigur ein Kreiskegel sein. Natürlich kann es sich um eine elliptische, hyperbolische oder andere Art von Figur handeln, aber in diesem Artikel beschränken wir uns darauf, nur einen Kreiskegel zu betrachten. Letzteres ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Es ist leicht zu erraten, dass es nicht nur mit Hilfe eines Schnitts durch eine Ebene, sondern auch mit Hilfe einer Rotationsoperation erh alten werden kann. FürDazu müssen Sie ein Trapez nehmen, das zwei rechte Winkel hat, und es um die Seite drehen, die an diese rechten Winkel angrenzt. Dadurch werden die Basen des Trapezes zu den Radien der Basen des Kegelstumpfes, und die seitlich geneigte Seite des Trapezes beschreibt die Kegelfläche.
Formentwicklung
Betrachtet man die Oberfläche eines Kegelstumpfes, so ist es sinnvoll, dessen Entwicklung, also das Abbild der Oberfläche einer dreidimensionalen Figur auf eine Ebene zu bringen. Unten ist ein Scan der untersuchten Figur mit willkürlichen Parametern.
Es ist zu erkennen, dass die Fläche der Figur aus drei Komponenten besteht: zwei Kreisen und einem abgeschnittenen Kreissegment. Um die benötigte Fläche zu ermitteln, müssen natürlich die Flächen aller genannten Figuren addiert werden. Lassen Sie uns dieses Problem im nächsten Absatz lösen.
Kegelstumpfbereich
Um die folgende Argumentation verständlicher zu machen, führen wir die folgende Notation ein:
- r1, r2 - Radien der großen bzw. kleinen Basen;
- h - Höhe der Figur;
- g - Erzeugende des Kegels (die Länge der schrägen Seite des Trapezes).
Die Grundfläche eines Kegelstumpfes lässt sich leicht berechnen. Schreiben wir die entsprechenden Ausdrücke:
So1=pir12;
So2=pir22.
Die Fläche eines Teils eines Kreissegments ist etwas schwieriger zu bestimmen. Wenn wir uns vorstellen, dass der Mittelpunkt dieses Kreissektors nicht ausgeschnitten ist, dann ist sein Radius gleich dem Wert G. Es ist nicht schwierig, ihn zu berechnen, wenn wir das entsprechende berücksichtigenähnliche rechtwinklige Kegeldreiecke. Es ist gleich:
G=r1g/(r1-r2).
Dann ist der Flächeninh alt des gesamten Kreissektors, der auf dem Radius G aufgebaut ist und auf einem Bogen der Länge 2pir1 beruht, gleich groß an:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
Lassen Sie uns nun die Fläche des kleinen kreisförmigen Sektors S2 bestimmen, die von S1 subtrahiert werden muss. Es ist gleich:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2).
Die Fläche der Kegelstumpffläche Sb ist gleich der Differenz zwischen S1 und S 2. Wir erh alten:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
Trotz einiger umständlicher Berechnungen haben wir einen recht einfachen Ausdruck für den Flächeninh alt der Seitenfläche der Figur erh alten.
Addiert man die Flächen der Basen und Sb erhält man die Formel für die Fläche eines Kegelstumpfes:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
Um also den Wert von S der untersuchten Figur zu berechnen, müssen Sie ihre drei linearen Parameter kennen.
Beispielaufgabe
Kreisförmiger gerader Kegelmit einem Radius von 10 cm und einer Höhe von 15 cm wurde mit einem Hobel abgeschnitten, so dass ein regelmäßiger Kegelstumpf entstand. Da der Abstand zwischen den Basen der abgeschnittenen Figur 10 cm beträgt, ist es notwendig, ihre Oberfläche zu finden.
Um die Formel für die Fläche eines Kegelstumpfes zu verwenden, musst du drei seiner Parameter finden. Einer, den wir kennen:
r1=10 cm.
Die beiden anderen sind leicht zu berechnen, wenn wir ähnliche rechtwinklige Dreiecke betrachten, die sich aus dem Axialschnitt des Kegels ergeben. Unter Berücksichtigung des Zustands des Problems erh alten wir:
r2=105/15=3,33 cm.
Schließlich wird die Führung des Kegelstumpfes g sein:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12,02 cm.
Nun kannst du die Werte r1, r2 und g in die Formel für S:
einsetzen
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 cm 2.
Die gewünschte Fläche der Figur beträgt ca. 852 cm2.
